V OM - I - Zadanie 10

Obliczyć $ x^{13} + \frac{1}{x^{13}} $ wiedząc, że $ x + \frac{1}{x} = a $, gdzie $ a $ jest liczbą daną.

Rozwiązanie

Ujmiemy zadanie ogólniej i wykażemy, że dla dowolnego naturalnego $ k $ można obliczyć wyrażenie $ x^k + \frac{1}{x^k} $ w zależności od $ x + \frac{1}{x} $. Zauważmy w tym celu, że

\[<br />
\left( x^m + \frac{1}{x^m} \right)<br />
\left( x^n + \frac{1}{x^n} \right) =<br />
\left( x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} \right) +<br />
\left( x^{m-n} + \frac{1}{x^{m-n}} \right),<br />
\]

zatem

\[<br />
(1) \qquad<br />
x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} =<br />
\left( x^m + \frac{1}{x^m} \right)<br />
\left( x^n + \frac{1}{x^n} \right) -<br />
\left( x^{m-n} + \frac{1}{x^{m-n}} \right).<br />
\]

Równość (1) pozwala sprowadzić obliczenie wyrażenia $ x^k + \frac{1}{x^k} $ do obliczenia wyrażeń tej samej postaci, lecz o wykładniku niższym. Tego rodzaju wzory nazywają się wzorami zwrotnymi lub rekurencyjnymi.

W szczególności, gdy $ n = 1 $, równość (1) daje wzór zwrotny

\[<br />
(2) \qquad x^{m+1} + \frac{1}{x^{m+1}} =<br />
\left( x^m + \frac{1}{x^m} \right)<br />
\left( x + \frac{1}{x} \right) -<br />
\left( x^{m-1} + \frac{1}{x^{m-1}} \right),<br />
\]

a gdy $ n = m $ otrzymujemy wzór zwrotny

\[<br />
(3) \qquad<br />
x^{2m} + \frac{1}{x^{2m}} =<br />
\left( x^m + \frac{1}{x^m} \right)^2 - 2.<br />
\]

Zastosujemy powyższe wzory do obliczenia $ x^{13} + \frac{1}{x^{13}} $, gdy mamy dane $ x + \frac{1}{x} = a $. Według wzoru (3):

\[ x^{2} + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = a^2 -2 \]
\[ x^{4} + \frac{1}{x^4} = \left( x^{2} + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = a^4 - 4a^2 + 2. \]

Według wzoru (2):

\[<br />
x^{3} + \frac{1}{x^3} = \left( x^{2} + \frac{1}{x^2}\right) \left( x + \frac{1}{x}\right) - \left( x + \frac{1}{x} \right) = a^3 - 3a,\]

stąd według wzoru (3)

\[ x^{6} + \frac{1}{x^6} = \left(x^{3} + \frac{1}{x^3} \right)^2 - 2 = a^6 - 6a^4 + 9a^2 - 2. \]

Stosując wreszcie wzór (1) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
x^{7} + \frac{1}{x^7} =& \left( x^{4} + \frac{1}{x^4} \right) \left( x^{3} + \frac{1}{x^3} \right) - \left( x + \frac{1}{x} \right) =\\<br />
=& (a^4 - 4a^2 + 2)(a^3 - 3a) - a = a^7 - 7a^5 + 14a^3 - 7a<br />
\end{split}<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\begin{split}<br />
x^{13} + \frac{1}{x^{13}} =& \left( x^{7} + \frac{1}{x^7} \right) \left( x^{6} + \frac{1}{x^6} \right) - \left( x + \frac{1}{x} \right)=\\<br />
=&(a^7 - 7a^5 + 14a^3 - 7a)(a^6 - 6a^4 + 9a^2 - 2) - a=\\<br />
=&a^{13} - 13a^{11} + 65a^9 - 156a^7 + 182a^5 - 91a^3 + 13a.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź