V OM - I - Zadanie 11

Dane są dwie przecinające się proste $ a $ i $ b $. Znaleźć miejsce geometryczne punktu $ M $ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $ M $ na proste $ a $ i $ b $ jest stała, równa danemu odcinkowi $ d $.

Rozwiązanie

Niech $ A $ i $ B $ oznaczają rzuty punktu $ M $ odpowiednio na proste $ a $ i $ b $ przecinające się w punkcie $ O $ i niech $ \alpha $ oznacza kąt wypukły $ AOB $ (rys. 27). Okrąg o średnicy $ OM $ przechodzi przez punkty $ A $ i $ B $, gdyż kąty $ OAM $ i $ OBM $ są proste; okrąg ten jest więc okręgiem opisanym na trójkącie $ AOB $ i $ AB = OM \sin \alpha $. Jeżeli $ AB = d $, to $ OM = \frac{d}{\sin \alpha} $. Punkt $ M $ leży zatem na okręgu $ k $ o środku $ O $ i promieniu równym $ \frac{d}{\sin \alpha} $.

Odwrotnie, jeśli pewien punkt $ N $ leży na owym okręgu $ k $ (rys. 28), to jego rzuty $ C $ i $ D $ na proste $ a $ i $ b $ leżą na okręgu o średnicy $ ON = \frac{d}{\sin \alpha} $; okrąg ten jest okręgiem opisanym na trójkącie $ COD $, zatem $ CD = \frac{d}{\sin \alpha} \cdot \sin \measuredangle COD $. Lecz $ \measuredangle COD $ jest równy $ \alpha $ lub $ 180^\circ - \alpha $, zatem $ \sin \measuredangle COD = \sin \alpha $ i $ CD = d $.

Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest więc okrąg zakreślony z punktu przecięcia danych prostych jako ze środka promieniem równym $ \frac{d}{\sin \alpha} $, gdzie $ \alpha $ oznacza jeden z kątów między danymi prostymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź