V OM - II - Zadanie 1

Przekrój łożyska kulkowego składa się z dwóch okręgów współśrodkowych $ C $ i $ C_1 $, między którymi znajduje się $ n $ małych okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $, przy czym każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich i do obu okręgów $ C $ i $ C_1 $. Mając dany promień $ r $ wewnętrznego okręgu $ C $ oraz liczbę naturalną $ n $ obliczyć promień $ x $ okręgu $ C_2 $ przechodzącego przez punkty styczności okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $ i sumę $ s $ długości tych łuków okręgów $ k_1, k_2, \ldots, k_n $, które leżą na zewnątrz okręgu $ C_2 $.

Rozwiązanie

Na rysunku 29, wyobrażającym część przekroju łożyska kulkowego, $ S $ oznacza środek jednego z małych okręgów, $ L $ i $ N $ punkty styczności tego okręgu z obu sąsiednimi małymi okręgami, a $ M $ i $ P $ - punkty styczności z okręgami $ C $ i $ C_1 $ o wspólnym środku $ O $. Według warunków zadania jest $ \measuredangle LON = \frac{2\pi}{n} $.

W trójkącie $ LOS $ między przyprostokątnymi $ OL = x $, $ LS = y $, przeciwprostokątną $ OS = r + y $ i kątem $ LOS $ równym $ \frac{\pi}{n} $ zachodzą związki

\[<br />
(1) \qquad y = x \tg \frac{\pi}{n},<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad x^2 + y^2 = (r + y)^2.<br />
\]

Po uproszczeniu równania (2) i podstawieniu w to równanie wartości (1) na $ y $ otrzymujemy równanie

\[<br />
x^2 - 2r \tg \frac{\pi}{n} \cdot x - r^2 = 0.<br />
\]

Równanie to ma dwa pierwiastki różnych znaków. Poszukiwaną długością promienia $ x $ okręgu $ C_2 $ jest pierwiastek dodatni, tj.

\[<br />
x = r \tg \frac{\pi}{n} + \sqrt{r^2 \tg^2 \frac{\pi}{n} + r^2} =<br />
r \left( \tg \frac{\pi}{n} + \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}} \right)<br />
\]

lub

\[<br />
(3) \qquad x = r \cdot \frac{1 + \sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}}.<br />
\]

Długość łuku $ LPN $ równa się iloczynowi miary łukowej kąta wklęsłego $ LSN $ przez promień $ y $, a ponieważ miara łukowa kąta wypukłego $ LSN $ wynosi $ \pi - \frac{2\pi}{n} $, więc

\[<br />
\begin{split}<br />
\textrm{długość łuku }LPN &=<br />
\left( 2\pi - \pi + \frac{2\pi}{n} \right)y =<br />
\frac{\pi(n+2)}{n} \cdot y =\\<br />
&= \frac{n + 2}{n} \pi \cdot \tg \frac{\pi}{n} \cdot x =<br />
\frac{n + 2}{n} \pi r \cdot \tg \frac{\pi}{n} \cdot<br />
\frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Poszukiwana suma $ s $ długości tych łuków małych okręgów, które leżą na zewnątrz okręgu $ C_2 $, jest $ n $ razy większa od długości łuku $ LPN $, zatem

\[<br />
(4) \qquad s = \pi r(n + 2) \cdot \tg \frac{\pi}{n} \cdot<br />
\frac{1 + \sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}}<br />
\]

lub prościej

\[<br />
(5) \qquad s = \pi r \cdot \frac{(n + 2) \sin \frac{\pi}{n}}{1 - \sin \frac{\pi}{n}}.<br />
\]

Wzory (3) i (5) stanowią rozwiązanie zadania.

Uwaga. Liczba $ s $, którą daje wzór (4), jest długością linii utworzonej ze wszystkich takich łuków małych okręgów jak łuk $ LPN $. Jest to linia zamknięta otaczająca punkt $ O $ i leżąca w pierścieniu między okręgami $ C $ i $ C_1 $. Odległość każdego punktu tej linii od odpowiedniego punktu okręgu $ C $ (tj. od punktu leżącego na tej samej półprostej wychodzącej z punktu $ O $) jest co najwyżej równa różnicy promieni okręgów $ C_1 $ i $ C $. Przypuśćmy, że ta różnica jest bardzo mała, tj. że pierścień między $ C $ i $ C_1 $ jest bardzo cienki. Wówczas punkty owej linii zamkniętej leżą bardzo blisko odpowiednich punktów okręgu $ C $ i można by sądzić, że wtedy długość $ s $ bardzo mało różni się od długości okręgu $ C $, tj. od $ 2\pi r $. Okazuje się jednak, że tak nie jest i że długość $ s $ wynosi zawsze przeszło $ \frac{3}{2} $ długości okręgu $ C $, choćby pierścień był tak cienki, jak tylko zechcemy. Aby się o tym przekonać zauważmy, że we wzorze (4) $ \frac{1 + \sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} > 1 $ i że tangens kąta ostrego jest większy od miary łukowej tego kąta, zatem $ \tg \frac{\pi}{n} > \frac{\pi}{n} $; ze wzoru (4) wynika więc nierówność

\[<br />
s > \pi r \cdot (n + 2) \cdot \frac{\pi}{n}.<br />
\]

Uwzględniając, że $ \frac{n+2}{n} > 1 $ otrzymujemy stąd nierówność

\[<br />
s > \pi^2r \textrm{ lub } \frac{s}{2\pi r} > \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \ldots<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź