V OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $.

Rozwiązanie

W ciągu składającym się z dziesięciu kolejnych liczb naturalnych jest pięć liczb parzystych i pięć liczb nieparzystych. Wobec tego zadanie można sprowadzić do zadania następującego:

Dowieść, że wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych znajduje się co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $.

Zauważmy, że w ciągu liczb nieparzystych co trzecia liczba jest podzielna przez $ 3 $, co piąta przez $ 5 $ i co siódma przez $ 7 $. Zatem:

a) Wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych co najmniej jedna jest podzielna przez $ 3 $; a więc liczb niepodzielnych przez $ 3 $, a tym bardziej liczb niepodzielnych przez $ 3 $ ani przez $ 5 $, ani przez $ 7 $ nie może być wśród nich więcej niż cztery. Przykład liczb $ 11 $, $ 13 $, $ 15 $, $ 17 $, $ 19 $ pokazuje, że wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych mogą się znajdować cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $.

b) Wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych co najwyżej dwie są podzielne przez $ 3 $, co najwyżej jedna jest podzielna przez $ 5 $ i co najwyżej jedna jest podzielna przez $ 7 $. Stąd wynika, że co najmniej jedna z tych pięciu liczb nie jest podzielna ani przez $ 3 $, ani przez $ 5 $, ani przez $ 7 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź