V OM - II - Zadanie 3

Dane są: punkt $ A $, prosta $ p $ i okrąg $ k $. Wykreślić trójkąt $ ABC $ o kątach $ A = 60^\circ $, $ B = 90^\circ $, którego wierzchołek $ B $ leży na prostej $ p $, a wierzchołek $ C $ - na okręgu $ k $.

Rozwiązanie

(metoda miejsc geometrycznych).

Zadanie sprowadza się do tego, żeby znaleźć punkt $ C $ spełniający dwa warunki:

1° Punkt $ C $ leży na danym okręgu $ k $;

2° punkt $ C $ jest wierzchołkiem trójkąta $ ABC $ o danym wierzchołku $ A $, którego wierzchołek $ B $ leży na danej prostej $ p $ i w którym $ \measuredangle A = 60^\circ $, $ \measuredangle B = 90^\circ $.

Wyznaczymy miejsce geometryczne punktu spełniającego warunek 2°. Rozróżnimy dwa przypadki:

a) Punkt $ A $ nie leży na prostej $ p $. Na prostej $ p $ istnieją wówczas dwa punkty $ M $ i $ N $ żądanego miejsca geometrycznego (rys. 30); są one wierzchołkami trójkątów $ ATM $ i $ ATN $, gdzie $ AT $ jest odległością punktu $ A $ od prostej $ p $, a $ \measuredangle AMT = \measuredangle ANT = 30^\circ $.

Niech $ C $ będzie punktem spełniającym warunek 2° i niech przy tym kąt $ ABC $ będzie zgodnie skierowany z kątem $ ATM $.

Punkt $ M $ leży wówczas na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $. Istotnie punkt $ B $ bądź pokrywa się z punktem $ M $, bądź leży na półprostej $ MT $, punkty $ M $ i $ C $ leżą tedy po tej samej stronie prostej $ AB $ i $ \measuredangle AMB = \measuredangle ACB = 30^\circ $, bądź wreszcie punkt $ B $ leży na przedłużeniu półprostej $ TM $ poza punkt $ M $, punkty $ M $ i $ C $ znajdują się więc po przeciwnych stronach prostej $ AB $ i $ \measuredangle AMB + \measuredangle ACB = 180^\circ $, gdyż $ \measuredangle AMB = 180^\circ - \measuredangle AMT = 150^\circ $, a $ \measuredangle ACB = 30^\circ $.

Ponieważ średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ jest $ AC $ więc $ \measuredangle AMC = 90^\circ $. Uzyskaliśmy wynik, że wszystkie punkty szukanego miejsca geometrycznego, dla których $ \measuredangle ABC $ jest skierowany zgodnie z kątem $ ATM $, leżą na prostej prostopadłej, w punkcie $ M $ do prostej $ AM $. Odwrotnie, każdy punkt $ C $ owej prostopadłej należy do miejsca geometrycznego; jeśli bowiem okrąg opisany na trójkącie $ AMC $ przechodzi przez punkt $ B $ prostej $ p $, to trójkąt $ ABC $ spełnia warunek 2°, gdyż $ \measuredangle ABC = \measuredangle AMC = 90^\circ $, a $ \measuredangle ACB = \measuredangle AMT = 30^\circ $.

Analogicznie wszystkie punkty spełniające warunek 2°, a przy tym takie, że kąt $ ABC $ jest skierowany zgodnie z kątem $ ATN $ tworzą prostą prostopadłą w punkcie $ N $ do prostej $ AN $.

Udowodniliśmy, że poszukiwane miejsce geometryczne składa się z dwóch prostych prostopadłych odpowiednio w punktach $ M $ i $ N $ do prostych $ AM $ i $ AN $.

b) Punkt $ A $ leży na prostej $ p $. W tym przypadku stwierdzamy bezpośrednio, że poszukiwane miejsce geometryczne składa się ze wszystkich punktów dwóch prostych przechodzących przez punkt $ A $ i tworzących z prostą $ p $ kąty $ 60^\circ $ i $ 120^\circ $ z wyjątkiem samego punktu $ A $ (rys. 31).

Rozwiązanie postawionego zadania otrzymujemy znajdując punkty przecięcia danego okręgu $ k $ z obu prostymi wyznaczonego miejsca geometrycznego. Zależnie, od położenia okręgu względem tych prostych ilość rozwiązań zadania może wynosić $ 4 $, $ 3 $, $ 2 $, $ 1 $ lub $ 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź