V OM - II - Zadanie 4

Podać warunki przy których równanie

\[<br />
\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} = \sqrt{x - c }<br />
\]

ma pierwiastki zakładając, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są parami różne.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $ x $ jest pierwiastkiem danego równania. W takim razie $ x > a $, $ x > b $, $ x > c $; prócz tego $ \sqrt{x - a} < \sqrt{x} - c $, skąd wynika, że $ x - a < x - c $, zatem $ c < a $ i analogicznie $ c < b $. Dane równanie może mieć zatem pierwiastki tylko wtedy, gdy liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówności:

\[<br />
c < a,\   c < b<br />
\]

Wykażemy, że gdy warunek ten jest spełniony, wtedy równanie dane ma jeden i tylko jeden pierwiastek. W tym celu utworzymy równanie wymierne, któremu muszą czynić zadość pierwiastki danego równania. Moglibyśmy uzyskać to równanie stosując dwukrotnie podnoszenie do kwadratu. Dogodniej będzie jednak postąpić inaczej. Piszemy następujące $ 4 $ równania (z których pierwsze jest równoważne danemu):

\[ (1) \qquad \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} - \sqrt{x - c} = 0, \]
\[ (2) \qquad \sqrt{x - a} - \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0, \]
\[ (3) \qquad-\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0, \]
\[ (4) \qquad \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0. \]

Mnożymy te równania stronami, korzystając z łatwego do sprawdzenia wzoru

\[<br />
(\alpha + \beta - \gamma) (\alpha - \beta + \gamma) (- \alpha + \beta + \gamma) (\alpha + \beta + \gamma) =<br />
\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 - 2\alpha^2\beta^2 - 2\beta^2\gamma^2 - 2\gamma^2\alpha^2<br />
\]

i otrzymujemy równanie

\[<br />
(x - a)^2 + (x - b)^2 +(x - c)^2 - 2(x - a)(x - b) - 2(x - b)(x - c) - 2 (x - c)(x - a) = 0,<br />
\]

które po otwarciu nawiasów i uporządkowaniu przybiera postać

\[<br />
(5) \qquad 3x^2 - 2(a + b + c)x - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) = 0.<br />
\]

Oznaczając literą $ \Delta $ wyróżnik równania (5) mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{4} \Delta &= (a + b + c)^2 + 3(a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) =\\<br />
&= 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 2 [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c-a)^2],<br />
\end{split}<br />
\]

skąd widzimy, że $ \Delta > 0 $; równanie (5) ma zatem dwa pierwiastki rzeczywiste.

Należy zbadać, czy pierwiastki te czynią zadość równaniu (1). Zauważmy, że jeżeli $ x $ jest pierwiastkiem któregokolwiek z równań (1), (2), (3), (4), to $ x $ spełnia też równanie (5), a w takim razie równanie (5) ma pierwiastek większy od każdej z liczb $ a $, $ b $, $ c $. Odwrotnie, jeżeli równanie (5) ma pierwiastek $ x $ spełniający warunki $ x > a $, $ x > b $, $ a > c $, to $ x $ jest pierwiastkiem któregoś z równań (1)-(4), gdyż lewą stronę równania (5) możemy wówczas przedstawić w postaci iloczynu lewych stron równań (1)-(4). Należy więc zbadać, czy któryś z pierwiastków równania (5) jest większy od $ a $, $ b $ i $ c $. Niech $ f(x) $ oznacza lewą stronę równania (5); łatwy rachunek daje

\[<br />
f(a) = - (b- c)^2,\ f(b) = -(a- c)^2,\ f(c) = -(a- b)^2.<br />
\]

Na podstawie znanego twierdzenia o znaku trójmianu kwadratowego wnosimy stąd, że liczby $ a $, $ b $ i $ c $ leżą między pierwiastkami równania (5); żądany warunek spełnia zatem tylko większy pierwiastek równania (5) tj. liczba

\[<br />
(6) \qquad x_1= \frac{1}{3} \left[ (a + b + c) + 2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} \right].<br />
\]

Liczba $ x_1 $ wyrażona wzorem (6) spełnia, jak zauważyliśmy wyżej, jedno z równań (1)-(4). Otóż jeśli $ c < a $ i $ c < b $, to liczba $ x_1 $ nie może spełniać żadnego z równań (2), (3), (4), gdyż wówczas $ \sqrt{x_1 - c} > \sqrt{x_1 - a} $ i $ \sqrt{x_1 - c} > \sqrt{x_1 - b} $, zatem wartość lewej strony każdego z równań (2), (3), (4) jest dodatnia. Liczba $ x_1 $ jest więc pierwiastkiem równania (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź