V OM - II - Zadanie 5

Dane są punkty $ A $, $ B $, $ C $ i $ D $ nie leżące w jednej płaszczyźnie. Przeprowadzić przez punkt $ A $ taką płaszczyznę, żeby rzut prostokątny czworokąta $ ABCD $ na tę płaszczyznę był równołegłobokiem.

Rozwiązanie

Niech $ B' $, $ C' $, $ D' $ będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $ B $, $ C $, $ D $ na płaszczyznę a przechodzącą przez punkt $ A $. Rzutem środka $ M $ odcinka $ AC $ jest środek $ M' $ odcinka $ AC' $, a rzutem środka $ N $ odcinka $ BD $ jest środek $ N' $ odcinka $ B'D' $. Czworokąt płaski $ AB'C'D' $ będący rzutem czworokąta $ ABCD $ na płaszczyznę $ \alpha $ jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $ M' $ i $ N' $ pokrywają się. Wówczas pokrywają się również proste rzutujące $ MM' $ i $ NN' $, kierunkiem rzutowania jest zatem kierunek prostej $ MN $ (punkty $ M $ i $ N $ są różne, gdyż punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą w jednej płaszczyźnie). Szukaną płaszczyzną jest płaszczyzna poprowadzona przez punkt $ A $ prostopadle do prostej $ MN $ (rys. 36). Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Uwaga. Z powyższego wynika, że proste $ MN $ i $ DE $, o których mowa w sposobie 1 i 2, są równoległe. Łatwo to również uzasadnić bezpośrednio: punkt $ M $ jako środek przekątnej $ AC $ równoległoboku $ ABCE $ jest również środkiem przekątnej $ BE $ tego równoległoboku; prosta $ MN $ przechodząca przez środki $ M $ i $ N $ boków $ BE $ i $ BD $ trójkąta $ BDE $ jest równoległa do boku $ DE $ tego trójkąta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź