V OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są kątami zawartymi między $ 0^\circ $ i $ 180^\circ $, a $ n $ jest dowolną liczbą naturalną większą niż $ 1 $, to

\[<br />
(1) \qquad<br />
\sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n.<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy twierdzenie ,,mocniejsze'', a mianowicie wykażemy, że jeżeli $ 0^\circ < x_i < 180^\circ $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $, przy czym $ n \geq 2 $, to

\[<br />
(2) \qquad<br />
| \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) | < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n<br />
\]

(Jeżeli $ | a | < b $, to $ a < b $ (ale nie na odwrót), z nierówności (2) wynika więc nierówność (1)).

W dowodzie korzystać będziemy ze znanych własności wartości bezwzględnej:

\[<br />
| a + b | \leq | a | + | b |,\ | ab | = | a | \cdot | b |<br />
\]

oraz z tego, że gdy $ 0^\circ < x < 180^\circ $, to $ | \sin x | = \sin x > 0 $, $ | \cos x | < 1 $ i że dla każdego $ x $ jest $ | \cos x | \leq 1 $.

Dowód przeprowadzimy stosując zasadę indukcji zupełnej. Gdy $ n = 2 $, twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

\[<br />
\sin (x_1 + x_2) = \sin x_1 \cos x_2 + \cos x_1 \sin x_2,<br />
\]

więc

\[<br />
| \sin (x_1 + x_2) | \leq | \sin x_1 | \cdot | \cos x_2 | + | \cos x_1 |  | \sin x_2 | < \sin x_1 + \sin x_2.<br />
\]

Przypuśćmy, że dla pewnego $ k \geq 2 $

\[<br />
| \sin (x_1 + \ldots + x_k | < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_k<br />
\]

i niech $ 0 < x_{k+1} < 180^\circ $. Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
| & \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k + x_{k+1}) | = \\<br />
& = | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k) \cos x_{k+1} +<br />
  \cos (x_1 + x_2 + \ldots + x_k) \sin x_{k+1} | \leq \\<br />
& \leq | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| \cdot | \cos x_{k+1} | +<br />
| \cos (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| \cdot | \sin x_{k+1} | \leq \\<br />
& \leq | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| + | \sin x_{k+1} | < \\<br />
& < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_k + \sin x_{k+1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Na podstawie indukcji zupełnej wnioskujemy stąd, że twierdzenie (2) jest prawdziwe dla każdego $ n \geq 2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź