V OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że w trapezie równoramiennym opisanym na kole odcinki łączące punkty styczności boków przeciwległych z kołem przechodzą przez punkt przecięcia przekątnych.

Rozwiązanie

Niech $ E $, $ F $, $ G $, $ H $ oznaczają odpowiednio punkty styczności boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ z okręgiem wpisanym w trapez $ ABCD $.

Niech $ M $ będzie punktem przecięcia odcinków $ EG $ i $ HF $ (rys. 37a). Ponieważ trapez $ ABCD $ jest równoramienny, więc prosta $ EG $ jest osią symetrii figury, przy czym punkt $ F $ jest symetryczny do punktu $ H $ i $ HF \bot EG $. Proste równoległe $ AB $, $ HF $ i $ DC $ wyznaczają na prostych $ EG $ i $ BC $ odcinki proporcjonalne, zatem

\[<br />
\frac{EM}{MG} = \frac{BF}{FC}.<br />
\]

Niech $ N $ będzie punktem przecięcia przekątnych $ AC $ i $ BD $ trapezu. Ponieważ te przekątne są symetryczne względem prostej $ EG $, więc punkt $ N $ leży na odcinku $ EG $ (rys. 37 b). Trójkąty $ AEN $ i $ CGN $ są jednokładne względem punktu $ N $, zatem

\[<br />
\frac{EN}{NG} = \frac{AE}{CG}.<br />
\]

Lecz $ AE = EB = BF $, a $ FC = CG $, wobec czego $ \frac{AE}{CG} = \frac{BF}{FC} $; z powyższych proporcji wynika więc, że

\[<br />
\frac{EM}{MG} = \frac{EN}{NG}.<br />
\]

Punkty $ M $ i $ N $ dzielą odcinek $ EG $ w tym samym stosunku, zatem punkty te pokrywają się, czego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź