V OM - III - Zadanie 2

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $ A $, $ B $ i $ C $, jeżeli

\[<br />
(1) \qquad \ctg A + \frac{\cos B}{\sin A \cos C} = \ctg B + \frac{\cos A}{\sin B \cos C}.<br />
\]

Rozwiązanie

Z równości (1) wynikają kolejno równości

\[<br />
\cos A \sin B \cos C + \sin B \cos B = \sin A \cos B \cos C + \sin A \cos A,<br />
\]
\[<br />
(\cos A \sin B- \sin A \cos B) \cos C = \sin A \cos A - \sin B \cos B.<br />
\]
\[<br />
\sin (B - A) \cos C = \frac{1}{2} (\sin 2 A - \sin 2 B),<br />
\]
\[<br />
\sin (B - A) \cos C = \cos (A + B) \sin (A - B),<br />
\]
\[<br />
\sin (A - B) [\cos (A + B) + \cos C] = 0,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \sin (A - B) \cos \frac{A + B + C}{2} \cos \frac{A + B - C}{2}= 0.<br />
\]

Z równości (2) wynika alternatywa:

\[<br />
\sin (A - B) = 0 \textrm{ lub }<br />
\cos \frac{A + B + C}{2} = 0 \textrm{ lub }<br />
\cos \frac{A + B - C}{2} = 0<br />
\]

równoważna alternatywie:

\[<br />
A - B = k\pi \textrm{ lub }<br />
\frac{A + B + C}{2} = \frac{\pi}{2} + m\pi \textrm{ lub }<br />
\frac{A + B - C}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi,<br />
\]

gdzie $ k $, $ m $, $ n $ oznaczają liczby całkowite.

Uzyskaliśmy wynik: Jeśli zachodzi równość (1), to

\[<br />
(3) \qquad A - B = k\pi \textrm{ lub } A + B + C = (2m + 1)\pi \textrm{ lub }<br />
A + B - C = (2n + 1)\pi,<br />
\]

gdzie $ k $, $ m $, $ n $ są liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że związki (3) nie wykluczają się wzajemnie; jeśli np. $ A = B = \frac{\pi}{2} $ , $ C = 0 $, to zachodzą wszystkie trzy związki.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź