V OM - III - Zadanie 4

Znaleźć wartości $ x $ spełniające nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2,<br />
\]

gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $ x $ spełnia nierówność (1), wtedy $ x \geq a $, z nierówności (1) wynikają kolejno nierówności

\[ (2) \qquad \sqrt{x} > \sqrt{x - a}  + 2,\]
\[ (3) \qquad x > (\sqrt{x - a} + 2)^2 = x - a + 4 \sqrt{x - a} + 4, \]
\[ (4) \qquad \sqrt{x - a} < \frac{a-4}{4}. \]

Z nierówności (4) wynika, że $ a > 4 $ i że

\[<br />
(5) \qquad x - a < \left( \frac{a - 4}{4}, \right)^2,<br />
\]

stąd

\[<br />
(6) \qquad x < \left( \frac{a-4}{4} \right)^2 + a,<br />
\]

lub

\[<br />
(7) \qquad x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2.<br />
\]

Jeśli więc liczba $ x $ spełnia nierówność (1), to

\[<br />
(8) \qquad a > 4,\ a \leq x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2.<br />
\]

Odwrotnie, jeśli spełnione są warunki (8), to zachodzi nierówność (1); istotnie, z nierówności (8) wynikają kolejno nierówności (7), (6), (5), (4), (3), (2) i wreszcie (1).

Fakt, że z nierówności (8) wynika nierówność (1), można by sprawdzić nieco inaczej: z nierówności (8) wynika, że

\[<br />
\sqrt{x} < \frac{a+4}{4},\<br />
\sqrt{x-a} < \sqrt{\left( \frac{a+4}{4} \right)^2 - a } = \frac{a-4}{4},<br />
\]

zatem

\[<br />
\sqrt{x} + \sqrt{x - a} < \frac{a+4}{4} + \frac{a-4}{4} = \frac{a}{2},<br />
\]

stąd

\[<br />
(\sqrt{x} + \sqrt{x - a}) (\sqrt{x} - \sqrt{x - a}) <<br />
\frac{a}{2} (\sqrt{x}-\sqrt{x - a})<br />
\]

lub

\[<br />
a < \frac{a}{2} (\sqrt{x} - \sqrt{x - a})<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\sqrt{x} - \sqrt{x - a} > 2.<br />
\]

Uzyskaliśmy wynik: liczby spełniające nierówność (1) istnieją tylko wtedy, gdy $ a > 4 $; są to liczby określone nierównością

\[<br />
a \leq x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź