V OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.

Rozwiązanie

Niech $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ oznaczają środki krawędzi czworościanu $ ABCD $, jak wskazuje rys. 42. Wystarczy dowieść, że którakolwiek z prostych $ KL $, $ MN $, $ PQ $ np. $ KL $ jest osią symetrii czworościanu i że jest prostopadła do którejś z dwóch pozostałych prostych, np. do $ PQ $.

\spos{1} Ponieważ według założenia $ AD = BC $ i $ BD = AC $, więc trójkąty $ ABD $ i $ ABC $ są przystające, gdyż mają odpowiednio równe boki, zatem środkowe $ DK $ i $ CK $ tych trójkątów są równe, wobec czego trójkąt $ DKC $ jest równoramienny i środkowa $ KL $ tego trójkąta jest jego wysokością, tj. $ KL \bot DC $; analogicznie $ KL \bot AB $. Stąd wynika, że prosta $ KL $ jest osią symetrii czworościanu, gdyż punkt $ S $ jest symetryczny do punktu $ A $, a punkt $ C $ jest symetryczny do punktu $ D $ względem prostej $ KL $. Odcinek $ BC $ jest symetryczny do odcinka $ AD $, zatem środek $ Q $ odcinka $ BC $ jest symetryczny do środka $ P $ odcinka $ AD $. Prosta $ PQ $ przechodząca przez punkty $ P $ i $ Q $ symetryczne względem prostej $ KL $ przecina tę prostą i jest do niej prostopadła.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź