V OM - III - Zadanie 6

Wewnątrz obręczy o promieniu $ 2r $ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $ r $. Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

Rozwiązanie

Gdy krążek toczy się po obręczy, punkty brzegu krążka stają się jeden po drugim punktami styczności krążka z obręczą. Warunek toczenia się bez poślizgu oznacza, że długość łuku $ PQ $ między dwoma punktami $ P $ i $ Q $ brzegu krążka równa się długości tego łuku obręczy, na który przy toczeniu się padną kolejno punkty łuku $ PQ $.

Ponieważ promień krążka jest dwa razy mniejszy od promienia obręczy, więc brzeg krążka przechodzi stale przez środek $ O $ obręczy.

Obierzmy na brzegu krążka pewien określony punkt $ P $ i niech przy początkowym położeniu krążka punkt $ P $ znajduje się w punkcie $ A $ obręczy (rys. 45).

Gdy krążek potoczy się w ten sposób, że punkt jego styczności z obręczą przebiegnie ćwiartkę $ AB $ obręczy, odpowiednie punkty brzegu krążka, tj. te, które kolejno stykają się z obręczą w punktach łuku $ AB $, utworzą półokrąg; gdy więc punkt styczności krążka z obręczą dojdzie do punktu $ B $, punkt $ P $ znajdzie się w punkcie $ O $. Wykażemy, że podczas tego ruchu punkt $ P $ zakreśla promień $ AO $. W tym celu przypuśćmy, że w pewnej chwili krążek styka się z obręczą w punkcie $ Q $ łuku $ AB $. Środek $ S $ krążka jest wtedy środkiem odcinka $ OQ $. Punkt $ P $ zajmuje wówczas takie położenie, że długości łuków $ AQ $ i $ QP $ (mniejszych od półokręgów) są równe. Stąd wynika, że

\[<br />
(1) \qquad \measuredangle AOQ = \frac{1}{2} \measuredangle PSQ.<br />
\]

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta $ \measuredangle PSQ = \measuredangle POS + \measuredangle OPS $, a że $ \measuredangle OPS = \measuredangle POS $, więc

\[<br />
(2) \qquad \measuredangle POS =\frac{1}{2} \measuredangle PSQ.<br />
\]

Z równości (1) i (2) otrzymujemy

\[<br />
\measuredangle POS = \measuredangle AOQ,<br />
\]

zatem punkt $ P $ leży na promieniu $ AO $.

Odwrotnie, jeśli $ P' $ jest dowolnym punktem wewnętrznym odcinka $ AO $, to istnieje takie położenie krążka, przy którym punkt $ P $ znajdzie się w punkcie $ P' $; środek krążka leży wówczas w przecięciu symetralnej odcinka $ OP' $ z tym łukiem okręgu o środku $ O $ i promieniu $ r $, który leży w kącie $ AOB $.

Dowiedliśmy, że gdy krążek toczy się po ćwiartce $ AB $ obręczy, punkt $ P $ zakreśla promień $ AO $. Przy toczeniu się po ćwiartce $ BC $ krążek przybiera położenia symetryczne do poprzednich względem prostej $ OB $; punkt $ P $ zakreśla zatem promień $ OC $ symetryczny do $ OA $ tj. tworzący wraz z $ OA $ średnicę $ AC $ obręczy. Przy toczeniu się po pozostałych ćwiartkach obręczy punkt $ P $ zakreśli średnicę $ CA $, gdyż zajmuje wówczas położenia symetryczne do poprzednich względem prostej $ AC $.

Uzyskaliśmy wynik: przy toczeniu się krążka wewnątrz obręczy o dwa razy większym promieniu każdy punkt krążka zakreśla pewną średnicę tej obręczy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź