IV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że wysokości $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $ trójkąta i promienie $ r_1 $, $ r_2 $, $ r_3 $ kół dopisanych spełniają równość

\[<br />
\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} =<br />
\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}.<br />
\]

Rozwiązanie

Podaną w zadaniu równość uzasadnimy wykazując, że każda z jej stron równa się tej samej funkcji boków trójkąta. Trzeba w tym celu skorzystać ze wzorów, które wysokości $ h_1 $ $ h_2 $, $ h_3 $ i promienie $ r_1 $, $ r_2 $, $ r_3 $ wiążą z bokami trójkąta.

Używając znanych oznaczeń: $ S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} $, $ 2p = a + b + c $, mamy

$ ah_1 = 2S $, skąd $ \frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S} $ i podobnie $ \frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S} $ oraz $ \frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S} $, zatem

\[<br />
\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} =<br />
\frac{a + b + c}{2S} = \frac{p}{S}.<br />
\]

$ r_1 (p - a) = S $, skąd $ \frac{1}{r_1} = \frac{p-a}{S} $ i podobnie $ \frac{1}{r_2} = \frac{p-b}{S} $ oraz $ \frac{1}{r_3} = \frac{p-c}{S} $, zatem

\[<br />
\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} =<br />
\frac{p - a + p - b + p - c}{S} = \frac{p}{S}.<br />
\]

Z równości 1° i 2° wynika równość żądana.

Uwaga. Powyższy dowód można zredagować krótko, jak następuje :

Równość żądana jest równoważna równości

\[<br />
\frac{S}{h_1} + \frac{S}{h_2} + \frac{S}{h_3} =<br />
\frac{S}{r_1} + \frac{S}{r_2} + \frac{S}{r_3}.<br />
\]

Ale

\[<br />
\frac{S}{h_1} + \frac{S}{h_2} + \frac{S}{h_3} =<br />
\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = p,<br />
\]

a

\[<br />
\frac{S}{r_1} + \frac{S}{r_2} + \frac{S}{r_3} =<br />
(p-a) + (p-b) + (p-c) = p,<br />
\]

a to dowodzi równości (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź