IV OM - I - Zadanie 3

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

\[<br />
a (b-c)^3 +b (c- a)^3 + c (a - b)^3.<br />
\]

Rozwiązanie

Przekształcamy dane wyrażenie porządkując je na przykład według potęg litery $ a $:

\[<br />
\begin{split}<br />
& a (b - c)^3 + b (c - a)^3 + c(a - b)^3 =<br />
 (c - b) a^3 + 3 (bc - bc) a^2 + \\<br />
& + [(b - c)^3 - 3 bc^2 + 3b^2c] a + (bc^3 - b^3c) = \\<br />
& = (c - b) a^3 + (b^3 - c^3) a + bc (c^2 - b^2) = \\<br />
& = (c - b) [a^3 - (b^2 + bc + c^2)a+ bc (b + c)] = \\<br />
& = (c - b) [b^2 (c - a) + b (c^2 - ac) + (a^3 - ac^2)] =\\<br />
& = (c - b) (c - a) [b^2 + bc - a (a + c)] =\\<br />
& = (c - b) (c - a) [(b^2 - a^2) + (bc - ac)] =\\<br />
& = (c - b) (c - a) (b - a) (a + b + c).<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź