IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą całkowitą wiekszą od $ 2 $, to

\[<br />
2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!.<br />
\]

Rozwiązanie

Można bezpośrednio zastosować indukcję zupełną do dowodu nierówności

\[<br />
(1) \qquad 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!<br />
\]

dla dowolnych liczb całkowitych $ n > 2 $.

1° Gdy $ n = 3 $, nierówność (1) jest prawdziwa, gdyż wówczas

\[<br />
2^{\frac{1}{2}n(n-1)} = 2^3 = 8, \textrm{ a } n! = 6.<br />
\]

2° Jeżeli nierówność (1) jest prawdziwa dla jakiegoś $ k \geq 3 $, tj. jeżeli

\[<br />
2^{\frac{1}{2}k(k-1)} > k!,<br />
\]

to

\[<br />
2^{\frac{1}{2}(k+1)k} =<br />
2^{\frac{1}{2}k(k-1)+k} =<br />
2^{\frac{1}{2}k(k-1)}  \cdot 2^k ><br />
k! \cdot 2^k > k! (k+1) = (k+1)!,<br />
\]

a więc

\[<br />
2^{\frac{1}{2}(k+1)k} > (k+1)!.<br />
\]

Z 1° i 2° wynika prawdziwość nierówności (1) dla każdego całkowitego $ n \geq 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź