IV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli $ a < b < c < d $, to

\[<br />
(1) \qquad (a + b + c + d)^2 > 8 (ac + bd).<br />
\]

Rozwiązanie

Uporządkujmy wyrażenie $ m = (a + b + c + d)^2 - 8ac - 8bd $ według potęg jednej z liter, np. litery $ a $:

\[<br />
m = a^2 + 2 (b - 3c + d)a + [(b + c + d)^2 - 8bd],<br />
\]

i obliczmy wyróżnik otrzymanej funkcji kwadratowej:

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{4} \Delta &= (b - 3c + d)^2 - (b + c + d)^2 + 8bd=<br />
(2b - 2c + 2d) (-4c) + 8 bd =\\<br />
&= 8 (bd - bc + c^2 - cd) =<br />
8 (b - c) (d - c).<br />
\end{split}<br />
\]

Gdy $ b < c < d $ lub $ d < c < b $, to $ \Delta < 0 $, zatem $ m > 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź