IV OM - I - Zadanie 10

Dane są dwie proste skośne $ m $ i $ n $. Na prostej $ m $ odmierzono odcinek $ AB $ o danej długości $ a $, a na prostej $ n $ odmierzono odcinek $ CD $ o danej długości $ b $. Dowieść, że objętość czworościanu $ ABCD $ nie zależy od położenia odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostych $ m $ i $ n $.

Rozwiązanie

Figurę utworzoną przez dwie proste skośne $ m $ i $ n $ najdogodniej przedstawić na rysunku przy pomocy rzutów na dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe. Za rzutnię poziomą obierzemy dowolną płaszczyznę równoległą do obu prostych $ m $ i $ n $ (rys. 33). Rzutami pionowymi danych prostych będą wówczas proste równoległe $ m'' $ i $ n'' $, których, odległość $ l $ równa się odległości prostych skośnych $ m $ i $ n $. Rzuty poziome $ m' $ i $ n' $ będą dwiema przecinającymi się prostymi, tworzącymi kąt $ \varphi $ równy kątowi między prostymi skośnymi $ m $ i $ n $. Rzuty poziome odcinków $ AB $ i $ CD $ równoległych do rzutni poziomej, mają długości $ A'B' = a $ i $ C'D' = b $.

Aby obliczyć objętość czworościanu $ ABCD $, rozważymy najpierw pewien równoległościan ,,opisany'' na tym czworościanie, a mianowicie równoległościan, dla którego odcinki $ AB $ i $ CD $ są przekątnymi dwóch ścian przeciwległych. Drugimi przekątnymi tychże ścian równoległościanu są: odcinek $ EF = b $, równoległy do odcinka $ CD $ i mający z odcinkiem $ AB $ wspólny środek $ M $, oraz odcinek $ GH = a $, równoległy do odcinka $ AB $ i mający wspólny środek $ N $ z odcinkiem $ CD $.

Objętość $ V $ zbudowanego w ten sposób równoległościanu równa się iloczynowi pola ściany $ AEBF $ przez jej odległość od ściany przeciwległej, tj. przez $ d $.

Ale pole równolegloboku $ AEBF $, którego przekątne mają długości $ a $ i $ b $ i tworzą kąt $ \varphi $, równa się $ \frac{1}{2} ab \sin \varphi $; zatem $ V = \frac{1}{2} abd \sin \varphi $.

Czworościan $ ABCD $ powstaje z równoległościanu przez obcięcie czterech narożnych czworościanów $ EABC $, $ FABD $, $ GACD $, $ HBCD $ (rys. 34). Objętość każdego z tych czworościanów, których podstawy są dwa razy mniejsze od podstaw równoległościanu, a wysokości są równe $ d $, wynosi $ \frac{1}{6} V $.

Zatem objętość czworościanu równa się $ \frac{1}{3} V = \frac{1}{6} abd \sin \varphi $, jest więc zależna tylko od długości $ a $, $ b $, $ d $ i kąta $ \varphi $, a nie zależy od położenia odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostych $ m $ i $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź