IV OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli $ A + B + C $ lub $ A + B - C $ lub $ A - B + C $ lub $ A - B - C $ równa się nieparzystej ilości kątów półpełnych, to $ \cos^2A + \cos^2B + \cos^2C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1 $ i że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

Rozwiązanie

\spos{1} Mamy dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad<br />
\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C - 1 = 0.<br />
\]

Zadanie można rozwiązać w sposób bardzo prosty, gdy się zauważy że równanie $ x = (2k + 1) \cdot 180^\circ $ jest równoważne równaniu $ \cos \frac{x}{2} = 0 $. Warunek konieczny i dostateczny, żeby jeden z kątów $ A + B+C $, $ A + B - C $, $ A-B+C $, $ A - B-C $ równał się nieparzystej wielokrotności kąta półpełnego, można więc wyrazić następującym równaniem (2)

\[<br />
\cos \frac{A + B + C}{2}<br />
\cos \frac{A + B - C}{2}<br />
\cos \frac{A - B + C}{2}<br />
\cos \frac{A - B - C}{2}= 0.<br />
\]

Zadanie sprowadza się zatem do wykazania, że równość (1) jest równoważna równości (2). Osiągniemy to przekształcając lewą stronę równości (2) przy użyciu znanych wzorów na sumy i iloczyny funkcyj trygonometrycznych:

\[<br />
\begin{split}<br />
& \cos \frac{A + B + C}{2}<br />
\cos \frac{A + B - C}{2}<br />
\cos \frac{A - B + C}{2}<br />
\cos \frac{A - B - C}{2}= \\<br />
& = \frac{1}{4} [\cos (A + B) + \cos C] \cdot [\cos (A - B) + \cos  C] =\\<br />
& = \frac{1}{4} [\cos (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \cos C + \cos (A - B)\cos C+ \cos^2 C] = \\<br />
& = \frac{1}{4} (\cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \cos C + \cos^2 C) = \\<br />
& = \frac{1}{4} (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C -1).<br />
\end{split}<br />
\]

Okazało się, że lewa strona równości (2) jest tożsamościowo równa $ \frac{1}{4} $ lewej strony równości (1). Równości te są więc równoważne, a stąd wynika, że równość (1) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z kątów $ A + B + C $, $ A + B - C $, $ A - B + C $, $ A - B - C $ jest nieparzystą wielokrotnością kąta półpełnego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź