IV OM - I - Zadanie 12

Dana jest prosta $ p $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące po przeciwnych stronach tej prostej. Poprowadzić przez punkty $ A $ i $ B $ taki okrąg, żeby jego cięciwa położona na prostej $ p $ była jak najkrótsza.

Rozwiązanie

Niech $ M $ oznacza punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ p $ i niech okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ przecina prostą $ p $ w punktach $ C $ i $ D $ (rys. 35).

Cięciwa $ CD $ jest sumą odcinków $ CM $ i $ MD $, których iloczyn, na mocy twierdzenia o przecinających się cięciwach okręgu, równa się iloczynowi danych odcinków $ AM $ i $ MB $. Z arytmetyki wiemy, że suma liczb dodatnich mających dany iloczyn jest najmniejsza wtedy, gdy te liczby są równe. Cięciwa $ CD $ jest zatem najkrótsza, gdy $ CM = MD $, tj. gdy punkt $ M $ jest środkiem tej cięciwy. Środek szukanego okręgu leży więc na prostopadłej poprowadzonej do prostej $ p $ prżez punkt $ M $. Ponieważ środek tego okręgu musi też leżeć na symetralnej cięciwy $ AB $, więc wyznaczamy go jako punkt przecięcia dwóch wymienionych prostych. Zadanie ma zawsze rozwiązanie i to tylko jedno.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź