IV OM - II - Zadanie 1

Ułożono tablicę

\[<br />
\begin{array}{rcl}<br />
1 & = & 1 \\<br />
2 + 3 + 4 & = & 1 + 8 \\<br />
5 + 6 + 7 + 8 + 9 & = & 8 + 27\\<br />
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 & = & 27 + 64\\<br />
 & \ldots &<br />
\end{array}<br />
\]

Napisać taki wzór na $ n $-ty wiersz tablicy, który by przy podstawieniach $ n = 1, 2, 3, 4 $ dawał powyższe cztery wiersze tablicy i był prawdziwy dla każdego naturalnego $ n $.

Rozwiązanie

Lewe strony wypisanych czterech wierszy tablicy można utworzyć w sposób następujący: W pierwszym wierszu mamy liczbę $ 1 $, równą $ 1^2 $; w drugim wierszu piszemy sumę kolejnych liczb całkowitych od $ 1^2 + 1 $ do $ 2^2 $; w trzecim wierszu - sumę kolejnych liczb całkowitych od $ 2^2 + 1 $ do $ 3^2 $; wreszcie w czwartym wierszu - sumę kolejnych liczb całkowitych od $ 3^2 + 1 $ do $ 4^2 $. Postępując w ten sam sposób dalej mielibyśmy w piątym wierszu sumę kolejnych liczb całkowitych od $ 4^2 + 1 $ do $ 5^2 $, i ogólnie: w $ n $-tym wierszu - sumę kolejnych liczb całkowitych od $ (n - 1)^2 + 1 $ do $ n^2 $. Sumę taką zapisuje się w postaci

\[<br />
(1) \qquad \sum_{k=(n-1)^2 + 1}^{k=n^2} k.<br />
\]

Symbol $ \Sigma $ jest grecką literą "sigma wielkie", a zapis powyższy oznacza, że należy zamiast $ k $ podstawiać po kolei liczby całkowite od $ (n - 1)^2 + 1 $ do $ n^2 $, a następnie liczby te dodać. W ten sposób dla $ n = 1, 2, 3, 4 $ otrzymujemy

\[<br />
\sum_{k=1}^{k=1} k =1,\<br />
\sum_{k=2}^{k=4} k = 2+3+4,\<br />
\sum_{k=5}^{k=9} k =5+6+7+8+9,\<br />
\sum_{k=10}^{k=16} k =10+11+12+13+14+15+16,<br />
\]

Wyrażenie (1) możemy przyjąć za lewą stronę $ n $-tego wiersza tablicy.

Po prawej stronie wypisanych wierszy tablicy mamy sumy sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych, a mianowicie sumy: $ 0^3 + 1^3 $; $ 1^3 + 2^3 $, $ 2^3 + 3^3 $; $ 3^3 + 4^3 $. Są to wartości sumy

\[<br />
(2) \qquad (n-1)^3 + n^3,<br />
\]

gdy $ n $ równa się kolejno $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $. Sumę (2) możemy przyjąć za prawą stronę $ n $-tego wiersza tablicy. Wzór

\[<br />
(3) \qquad \sum_{k = (n-1)^2 + 1}^{k = n^2} = (n - 1)^3 + n^3<br />
\]

daje dla $ n = 1, 2, 3, 4 $ wypisane cztery wiersze tablicy.

Należy jeszcze wykazać, że wzór (3) jest prawdziwy dla każdego naturalnego $ n $. Otóż lewa strona równości (3) jest sumą wyrazów postępu arytmetycznego, którego pierwszym wyrazem jest liczba $ (n - 1)^2 + 1 $, ostatnim wyrazem - liczba $ n^2 $, a ilość wyrazów wynosi $ n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1 $. Zatem

\[<br />
\sum_{k=(n- 1)^2+1}^{k=n^2} k = \frac{(n - 1)^2 + 1 + n^2}{2} \cdot (2n -1) = (n^2-n+1) (2n - 1) = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1.<br />
\]

Ponieważ również

\[<br />
(n - 1)^3 + n^3 = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1,<br />
\]

więc istotnie równość (3) jest prawdziwa dla dowolnego naturalnego $ n $.

Uwaga. Myliłby się, kto by sądził, że wzór (3) jest jedynym wzorem typu $ f (n) = \varphi (n) $, który dla $ n = 1, 2, 3, 4 $ daje równości wymienione w temacie zadania. Mylny byłby również pogląd, że jeżeli jakiś wzór $ f (n) = \varphi (n) $ przy podstawieniu $ n = 1, 2, 3, 4 $ daje cztery równości wymienione w temacie zadania, to dla $ n = 5 $ musi dać równość

\[<br />
17 + 18 + \ldots + 24 + 25 = 64 + 125.<br />
\]

Weźmy dla przykładu funkcje:

\[<br />
\begin{split}<br />
f(n)& = \frac{(n-2) (n- 3)(n-4)(n-5)}{24} \cdot 1 + \\<br />
& - \frac{(n - 1) (n - 3) (n - 4) (n - 5)}{6} \cdot (2+3+4) + \\<br />
& + \frac{(n - 1)(n - 2) (n - 4) (n- 5)}{4} \cdot (5+6 + 7 + 8 + 9) +\\<br />
& - \frac{(n -1)(n - 2) (n - 3) (n - 5)}{6} \cdot(10 + 11 + 12 + 13 + 14 +<br />
15 + 16),<br />
\end{split}<br />
\]
\[<br />
\begin{split}<br />
\varphi(n) & = \frac{(n - 2) (n - 3) (n - 4)  (n - 5)}{24} \cdot 1 + \\<br />
& - \frac{(n - 1)(n - 3) (n - 4) (n - 5)}{6} \cdot (1 + 8) +\\<br />
& + \frac{(n - 1) (n - 2) ( n- 4) (n - 5)}{4} \cdot (8 + 27) + \\<br />
& + \frac{(n - 1) (n - 2) (n -  3)  (n - 5)}{6} \cdot (27 + 64).<br />
\end{split}<br />
\]

Wówczas równość $ f(n) = \varphi (n) $ będzie prawdziwa dla każdej wartości $ n $, przy czym dla $ n = 1, 2, 3, 4 $ daje właśnie takie równości, jakie są podane w temacie zadania; natomiast dla $ n = 5 $ wzór ten daje równość $ 0 = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź