IV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że równanie

\[<br />
(1) \qquad (x - a) (x - c) + 2 (x - b) (x - d) = 0,<br />
\]

w którym $ a < b < c < d $, ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę lewą stronę równania (1), tj. funkcję kwadratową

\[<br />
(2) \qquad (x - a) (x - c) + 2 ( x - b) (x - d).<br />
\]

Wiemy z algebry, że funkcja kwadratowa ma wtedy i tylko wtedy dwa pierwiastki (inaczej: miejsca zerowe) rzeczywiste, jeśli przybiera zarówno wartości dodatnie, jak ujemne. Otóż jeżeli $ x $ jest większe od każdej z liczb $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, to każda z różnic $ x - a $, $ x - b $, $ x - c $, $ x - d $ jest dodatnia i funkcja (2) ma wartość dodatnią. Łatwo wskazać taką wartość $ x $, dla której ta funkcja jest ujemna; gdy na przykład $ x = b $, funkcja (2) ma wartość

\[<br />
(b -a)(b- c),<br />
\]

która jest ujemna, gdyż według założenia $ b - a>0 $, a $ b - c < 0 $. Twierdzenie zostało tym samym udowodnione.

Uwaga 1. Z powyższego dowodu widać, że zamiast założenia $ a < b < c < d $ wystarczy przyjąć, że $ a < b < c $.

Podobnie wystarczyłoby założenie $ b < c < d $, gdyż wówczas podstawiając do (2) wartość $ x = c $ otrzymalibyśmy liczbę ujemną $ (c - b) (c - d) $. Zauważmy ponadto, że wartość wyrażenia (2) nie ulega zmianie, gdy przestawimy litery $ a $ i $ c $, a także gdy przestawimy litery $ b $ i $ d $. Możemy wobec tego wypowiedzieć twierdzenie mocniejsze od powyższego:

Jeżeli któraś z liczb $ b $ i $ d $ leży między liczbami $ a $ i $ c $ lub któraś z liczb $ a $ i $ c $ leży między liczbami $ b $ i $ d $, to równanie (1) ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Twierdzenie to pozostanie prawdziwe, gdy w równaniu (1) współczynnik $ 2 $ zastąpimy dowolną liczbą dodatnią $ k $; dowód powyższy nie wymaga zmiany. Inaczej będzie, gdy zamiast współczynnika $ 2 $ weźmiemy liczbę ujemną. Proponujemy Czytelnikowi rozpatrzenie tego przypadku i wyszukanie warunku dostatecznego rzeczywistości pierwiastków równania.

Uwaga 2. Inny, aczkolwiek znacznie dłuższy dówód twierdzenia można wysnuć z rozważania wyróżnika równania (1):

\[<br />
\Delta = (a + c + 2b + 2d)^2 - 12 (ac + 2bd).<br />
\]

Wzorując się na rozwiązaniu zadania nr 24 wykażemy z łatwością, że gdy któraś z liczb $ a $ i $ c $ leży między liczbami $ b $ i $ d $ lub któraś z liczb $ b $ i $ d $ leży między liczbami $ a $ i $ c $, to $ \Delta > 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź