IV OM - II - Zadanie 4

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1x_2 = 1\\<br />
x_2x_3 = 2\\<br />
x_3x_4 = 3\\<br />
\ldots\\<br />
x_nx_1 = n<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

W zadaniu nr 2 rozważyliśmy przypadek szczególny układu równań (1), w którym $ n = 7 $. Gdy $ n $ jest dowolne, należy rozróżnić dwa przypadki.

1. Liczba $ n $ jest parzysta, $ n = 2m $. Mnożąc stronami równania: pierwsze, trzecie, $ \ldots $ aż do $ (2m - 1) $-ego otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad x_1x_2x_3x_4 \ldots x_{2n-1}x_{2n} = 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m - 1).<br />
\]

Mnożąc zaś stronami równania: drugie, czwarte, $ \ldots $ aż do $ 2m $-ego otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad x_2x_3x_4x_5 \ldots x_{2m}x_1 = 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2m).<br />
\]

Równania (2) i (3) są sprzeczne, gdyż lewe strony przedstawiają ten sam iloczyn niewiadomych, a prawe strony są liczbami różnymi. Stąd wynika, że w przypadku, gdy $ n $ jest liczbą parzystą, dany układ równań nie ma rozwiązań.

2. Liczba $ n $ jest nieparzysta, $ n= 2m+ 1 $.

Zauważmy najpierw, że jeżeli liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają układ równań (1), to albo wszystkie są dodatnie, albo wszystkie są ujemne, a przy tym liczby $ -x_1, - x_2, \ldots ,-x_n $ także spełniają ten układ równań. Wystarczy zatem znaleźć rozwiązania dodatnie, do czego się w dalszym ciągu ograniczymy.

Mnożymy równania danego układu stronami:

\[<br />
(x_1x_2x_3 \ldots x_{2m+1})^2 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m + 1),<br />
\]

stąd

\[<br />
(4) \qquad x_1x_2x_3 \ldots x_{2m+1} = \sqrt{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m + 1)}.<br />
\]

Mnożymy stronami równania: pierwsze, trzecie, $ \ldots $ aż do $ (2m + 1) $-ego, tj. do ostatniego:

\[<br />
(5) \qquad x_1x_2x_3x_4x_5x_6 \ldots x_{2m+1} x_1 = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2m+1).<br />
\]

Dzielimy równania (5) i (4) stronami:

\[<br />
(6) \qquad<br />
x_1 = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2m + 1)}{<br />
\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m + 1)}}.<br />
\]

Z pierwszych $ 2m $ równań układu (1) otrzymujemy

\[<br />
(7) \qquad<br />
x_2 = \frac{1}{x_1},\<br />
x_3 = \frac{2}{x_2},\<br />
x_4 = \frac{3}{x_3},\<br />
x_5 = \frac{4}{x_4},\<br />
\ldots,\<br />
x_6 = \frac{2m}{x_{2m}}.<br />
\]

Stąd możemy obliczyć kolejno niewiadome $ x_2, x_3, \ldots, x_n $ w zależności od $ x_1 $:

\[<br />
(8) \qquad<br />
x_2 =  \frac{1}{x_1},\<br />
x_3 =  2x_1,\<br />
x_4 =  \frac{3}{2x_1},\<br />
x_5 =  \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot x_1,\<br />
\ldots.<br />
\]

Nie trudno dowieść, że począwszy od $ x_4 $ wartości niewiadomych wyrażają się wzorami

\[<br />
(9) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
x_{2k} = \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k - 1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2k - 2)} \cdot \frac{1}{x_1},\\<br />
x_{2k+1} = \frac{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2k}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2k - 1)} \cdot x_1,<br />
\end{array}<br />
\]

gdzie $ k $ przybiera wartości $ 2, 3, \ldots, m $.

Zastosujemy w tym celu indukcję zupełną. Podstawiając we wzorach (9) $ k = 2 $ otrzymujemy dla $ x_4 $ i $ x_5 $ wyrażenia podane w (8). Przypuśćmy teraz, że wzory (9) są prawdziwe dla pewnego $ k $; udowodnimy, że pozostaną prawdziwe, gdy zamiast $ k $ podstawimy w nich $ k + 1 $. Istotnie według (7) jest $ x_{r+1} = \frac{r}{x_r} $, więc

\[<br />
x_{2k+2} = \frac{2k + 1}{x_{2k+1}} =<br />
\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2k - 1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2k)} \cdot \frac{2k + 1}{x_1},<br />
\]
\[<br />
x_{2k+3} = \frac{2k + 2}{x_{2k+2}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2k}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2k-1)} \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot x_1,<br />
\]

a to są właśnie wzory wynikające ze wzorów (9) przy zamianie $ k $ na $ k + 1 $.

Obliczyliśmy w ten sposób wartości wszystkich niewiadomych; mianowicie $ x_1 $ wyrażone jest wzorem (6), $ x_2 = \frac{1}{x_1} $, $ x_3 = 2x_1 $, a dalsze niewiadome wyrażone są wzorami (9).

Trzeba jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wartości spełniają wszystkie równania układu (1). O ile chodzi o pierwszych $ 2m $ równań, fakt ten nie ulega wątpliwości, gdyż ze sposobu, w jaki obliczyliśmy niewiadome $ x_2, x_3, \ldots, x_{2m+1} $, widać od razu, że spełniają one równania (7). Sprawdzimy, czy spełnione jest ostatnie równanie.

Z drugiego ze wzorów (9) mamy:

\[<br />
x_{2m+1} =<br />
\frac{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2m)}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m-1)} \cdot x_1, \textrm{ więc}<br />
\]
\[<br />
x_{2m+1}x_1 =<br />
\frac{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2m}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m -1)} \cdot x_1^2,<br />
\]

zatem, według (6),

\[<br />
x_{2m+1}x_1 =<br />
\frac{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2m)}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2m - 1)} \cdot<br />
\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot \ldots \cdot (2m + 1)^2}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2m + 1)} = 2m + 1.<br />
\]

Ostatnie równanie jest więc spełnione. Uzyskaliśmy wynik:

Gdy $ n $ jest liczbą nieparzystą, układ równań (1) ma dwa rozwiązania. Pierwsze rozwiązanie jest określone wzorem (6), wzorami $ x_2 = \frac{1}{x_1} $, $ x_3 = 2x_1 $ oraz wzorami (9), w których $ k $ przybiera wartości $ 2, 3, \ldots, \frac{n-1}{2} $; drugie rozwiązanie składa się z liczb przeciwnych do poprzednich.

Uwaga. W taki sam sposób, jak wyżej, można rozwiązać (dla $ n $ nieparzystego) ogólniejszy układ równań zastępując w równaniach (1) prawe strony przez dowolne liczby rzeczywiste, byle takie, żeby ich iloczyn był dodatni. Można też użyć następującego nieco innego sposobu rozwiązania.

Niech będzie dany układ równań

\[<br />
(10) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1x_2 = a_1,\\<br />
x_2x_3 = a_2,\\<br />
\ldots,\\<br />
x_{2m}x_{2m+1} = a_{2m},\\<br />
x_{2m+1} x_1  = a_{2m+1},<br />
\end{array}<br />
\]

przy czym $ a_1a_2 \ldots a_{2m+1} > 0 $. Oznaczmy

\[<br />
R = \varepsilon \sqrt{a_1a_2 \ldots a_{2m+1}}, \textrm{ gdzie }\varepsilon = 1  \textrm{ lub } \varepsilon = - 1.<br />
\]

Mnożąc stronami wszystkie dane równania i wyciągając obustronnie pierwiastek kwadratowy otrzymujemy

\[<br />
x_1x_2x_3 \ldots x_{2m+1} = R.<br />
\]

Natomiast mnożąc stronami równania, w których po prawej stronie występują liczby $ a_1, a_3, \ldots, a_{2m-1}, a_{2m+1} $ otrzymujemy

\[<br />
x_1x_2x_3 \ldots x_{2m+1} x_1 = a_1a_3a_5 \ldots a_{2m+1}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(1) \qquad<br />
a_1 = \frac{a_1 a_3 a_5 \ldots a_{2m+1}}{R}.<br />
\]

Jeżeli w równaniach (10) wykonamy cykliczne podstawienie wskaźników:

\[<br />
\left(<br />
\begin{array}{c}<br />
1, 2, 3, \ldots, 2m, 2m+1 \\<br />
2, 3, 4, \ldots, 2m + 1, 1<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
\]

tzn. jeśli każdy ze wskaźników $ 1, 2, \ldots, 2m $ zastąpimy wskaźnikiem o $ 1 $ większym, a wskaźnik $ 2m+1 $ wskaźnikiem $ 1 $, to układ równań (10) nie ulegnie zmianie, a wzór (11) przejdzie na wzór

\[<br />
(12) \qquad x_2 = \frac{a_2a_4a_6 \ldots a_{2m}a_1}{R}.<br />
\]

Stosując znowu podstawienie cykliczne otrzymujemy ze wzoru (12) wzór

\[<br />
(13) \qquad =<br />
x_3 = \frac{a_3a_5 \ldots a_{2m+1} a_2}{R}.<br />
\]

Postępując tak w dalszym ciągu otrzymujemy ogólnie

\[<br />
x_{2k} = \frac{a_{2k}a_{2k + 2} \ldots a_{2m} a_1a_3 \ldots a_{2k-1}}{R}<br />
\]
\[<br />
x_{2k+1} = \frac{a_{2k+1} a_{2k + 3} \ldots a_{2m + 1}a_2a_4 \ldots a_{2k}}{R},<br />
\]

gdzie $ k = 1, 2, 3, \ldots, m $. Łatwo sprawdzić, że otrzymane w ten sposób wartości dla $ x_1, x_2, \ldots x_{2m + 1} $ spełniają wszystkie równania układu równań (10); mamy tu dwa rozwiązania tego układu, gdyż w wyrażeniu $ R $ możemy przyjąć $ \varepsilon = 1 $ lub $ \varepsilon = - 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź