IV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ mając daną długość $ d $ krawędzi $ AB $ oraz pole $ S $ rzutu czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ AB $.

Rozwiązanie

Poprowadźmy przez wierzchołek $ A $ czworościanu $ ABCD $ płaszczyznę $ \alpha $ prostopadłą do krawędzi $ AB $ (rys. 37) a przez punkty $ C $ i $ D $ poprowadźmy równoległe do prostej $ AB $ aż do przecięcia z płaszczyzną $ \alpha $ w punktach $ C' $ i $ D' $. Rzutem prostokątnym czworościanu $ ABCD $ na płaszczyznę $ \alpha $ będzie trójkąt $ AC'D' $.

Objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ równa się objętości czworościanu $ ABCD' $, gdyż oba, czworościany mają tę samą podstawę $ ABC $, a prosta $ DD' $, na której leżą ich wierzchołki, jest równoległa do prostej $ AB $, więc jest też równoległa do płaszczyzny $ ABC $. Podobnie objętość czworościanu $ ABCD' $ równa się objętości czworościanu $ ABC'D' $, gdyż wierzchołki $ C $ i $ C' $ tych czworościanów leżą na równoległej do ich wspólnej podstawy $ ABD' $. Zatem objętość czworościanu $ ABCD $ równa się objętości czworościanu $ ABC'D' $. Ponieważ $ AB \bot \alpha $, więc

\[<br />
\textrm{objętość }ABC'D' =<br />
\frac{1}{3} (\textrm{pole }AC'D') \cdot AB =<br />
\frac{1}{3} Sd<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
V = \frac{1}{3} Sd.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź