IV OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy równanie

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0,<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Każda liczba $ x $ spełniająca równanie (1) musi też spełniać równanie

\[<br />
(2) \qquad (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) + (x -a) (x- b) = 0,<br />
\]

otrzymane z równania (1) przez pomnożenie obu stron przez $ (x - a) (x - b) (x - c) $.

Odwrotnie, każdy pierwiastek $ x $ równania (2), różny od $ a $, $ b $ i $ c $, jest pierwiastkiem równania (1), gdyż dzieląc równość (2) przez różną od zera liczbę $ (x - a) (x - b) (x - c) $ otrzymujemy równość (1). Biorąc pod uwagę, że żadna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ nie jest pierwiastkiem równania (1), widzimy, że pierwiastkami równania (1) są te pierwiastki równania (2), które nie są równe żadnej z liczb $ a $, $ b $, $ c $. Zbadamy wobec tego równanie (2), przy czym rozróżnimy trzy przypadki.

Przypadek 1. Liczby $ a $, $ b $, $ c $ są różne, niech na przykład $ a < b < c $. Lewa strona równania (2) jest funkcją kwadratową zmiennej $ x $; oznaczymy tę funkcję symbolem $ f(x) $:

\[<br />
(3) \qquad f(x) = (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) + (x - a) (x - b).<br />
\]

Obliczymy wartości funkcji $ f(x) $, gdy $ x $ równa się $ a $, $ b $, lub $ c $. Ze wzoru (3) otrzymujemy

\[ f (a) = (a - b) (a - c),\]
\[ f (b) = (b - c) (b - a),\]
\[ f (c) = (c - a) (c - b).\]

Liczby $ f (a) $ i $ f (c) $ są dodatnie, gdyż są iloczynami liczb tego samego znaku; natomiast liczba $ f(b) $ jest ujemna, gdyż $ b - c < 0 $, a $ b - a > 0 $. A zatem funkcja kwadratowa $ f(x) $ ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden leży między $ a $ i $ b $, drugi zaś między $ b $ i $ c $.

Te same pierwiastki ma równanie (1). Równania (1) i (2) są w rozpatrywanym przypadku równoważne.

Przypadek 2. Dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są równe; niech np. $ a = b $, ale $ a \ne c $. Równanie (2) przybiera postać

\[<br />
(x - a) (x - c + x - c + x - a) = 0,<br />
\]

czyli

\[<br />
(x - a) (3x - 2c - a) = 0,<br />
\]

skąd widzimy, że ma ono pierwiastki $ a $ i $ \frac{a + 2c}{3} $. Wobec tego, że $ a \ne c $; drugi pierwiastek nie równa się ani $ a $, ani $ c $. Równanie (1) ma w tym przypadku tylko jeden pierwiastek równy $ \frac{a + 2c}{3} $, gdyż $ a $ odpada.

Przypadek 3. Liczby $ a $, $ b $ i $ c $ są równe. Równanie (2) przybiera postać

\[<br />
3 (x - a)^2 = 0<br />
\]

i ma pierwiastek podwójny $ x = a $. Równanie (1) w tym przypadku nie ma pierwiastków.

Uwaga. Dowód, że w przypadku 1 równanie (2) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, można przeprowadzić wykazując, że jego wyróżnik $ \Delta $ jest dodatni. Piszemy w tym celu równanie (2) w postaci

\[<br />
3x^2 - 2 (a + b + c) x + (ab + bc + ca) = 0<br />
\]

i obliczamy

\[<br />
\begin{split}<br />
& \frac{1}{4} \Delta = (a + b + c)^2 - 3 (ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \\<br />
& = \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) = \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] > 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź