IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $ V $ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

Rozwiązanie

Aby sobie ułatwić znalezienie rozwiązania, rozważmy najpierw analogiczne zadanie na płaszczyźnie:

Poprowadźmy przez każdy wierzchołek trójkąta $ ABC $ prostą równoległą do przeciwległego boku trójkąta. Te proste tworzą trójkąt $ A_1B_1C_1 $ jednokładny do trójkąta $ ABC $ (rys. 46). Środkiem jednokładności jest punkt $ S $, w którym przecinają się proste $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $; punkt $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $, a także trójkąta $ A_1B_1C_1 $. Jednokładność jest odwrotna, gdyż odpowiadające sobie punkty, np. $ A $ i $ A_1 $, leżą na półprostych $ SA $ i $ SA_1 $ o kierunkach przeciwnych. Stosunek jednokładności jest

\[<br />
\frac{SA_1}{SA} = \frac{A_1B_1}{AB} = 2.<br />
\]

Ponieważ stosunek pól figur jednokładnych równa się kwadratowi stosunku jednokładności, więc pole trójkąta $ A_1B_1C_1 $ jest $ 4 $ razy większe od pola trójkąta $ ABC $, co zresztą jest widoczne bezpośrednio.

Powracając do właściwego tematu przypomnimy krótko własności figur jednokładnych w przestrzeni. Niech będzie dana w przestrzeni figura $ F $, której punktami są $ A, B, C, \ldots $ Obierzmy dowolny punkt $ S $ oraz liczbę dodatnią $ k $. Gdy na półprostych $ SA, SB, SC, \ldots $ odmierzymy odcinki $ SA' = k \cdot SA, SB' = k \cdot SB, SC' = k \cdot SC, \ldots $, punkty $ A', B', C', \ldots $ utworzą figurę $ F' $ jednokładną wprost do figury $ F $ względem punktu $ S $ w stosunku $ k $. Jeżeli zaś odmierzymy takie same odcinki $ SA_1 = k \cdot SA, SB_1 = k \cdot SB, SC_1 = k \cdot SC, \ldots $ na przedłużeniach półprostych $ SA, SB, SC, \ldots $, to otrzymamy figurę $ F_1 $ jednokładną odwrotnie do figury $ F $ względem punktu $ S $ w stosunku $ k $ (rys. 47). Z tej definicji łatwo wynika, że figurą jednokładną do odcinka $ AB $ jest odcinek $ A_1B_1 $, przy czym proste $ AB $ i $ A_1B_1 $ są równoległe (lub pokrywają się, co ma miejsce wtedy, gdy prosta $ AB $ przechodzi przez punkt $ S $). Figurą jednokładną do trójkąta $ ABC $ jest wobec tego trójkąt $ A_1B_1C_1 $, przy czym płaszczyzny trójkątów są równoległe (lub pokrywają się w przypadku, gdy płaszczyzna $ ABC $ zawiera punkt $ S $). Figurą jednokładną do czworościanu $ ABCD $ jest czworościan $ A_1B_1C_1D_1 $. Stosunek odcinków jednokładnych równa się stosunkowi jednokładności, stosunek pól trójkątów (lub ogólnie: figur płaskich) jednokładnych równa się kwadratowi stosunku jednokładności, a stosunek objętości - czworościanów (ogólnie: brył) jednokładnych równa się sześcianowi stosunku jednokładności.

Do rozwiązania zadania potrzebne będzie jeszcze twierdzenie:

Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości przeciwległych ścian przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdy z tych odcinków w stosunku $ 3 \colon 1 $.

Dowód tego twierdzenia jest prosty; wystarczy go przeprowadzić dla jednej pary owych odcinków. Niech $ M $ będzie środkiem ciężkości ściany $ BCD $, a $ N $ - środkiem ciężkości ściany $ ACD $ czworościanu $ ABCD $ (rys. 47). Proste $ BM $ i $ AN $ przecinają się w środku $ P $ krawędzi $ CD $.

Odcinki $ AM $ i $ BN $ łączące wierzchołki $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABP $ z punktami $ M $ i $ N $ boków $ BP $ i $ AP $ przecinają się w punkcie $ S $ wewnątrz tego trójkąta. Ponieważ $ AP = 3 \cdot NP $ i $ BP = 3 \cdot MP $, więc $ MN \parallel AB $ i $ AB = 3 MN $; stąd wynika, że $ AS = 3 \cdot SM $ i $ BS = 3 \cdot SN $, czego mieliśmy dowieść. Punkt $ S $ jest środkiem ciężkości czworościanu.

Stosując powyższe wiadomości możemy rozwiązanie zadania ująć krótko: Budujemy figurę odwrotnie jednokładną w stosunku $ 3 $ do czworościanu $ ABCD $ względem jego środka ciężkości $ S $. Figurą tą jest czworościan $ A_1B_1C_1D_1 $, którego wierzchołki leżą na przedłużeniach półprostych $ SA $, $ SB $, $ SC $, $ SD $, przy czym $ SA_1 = 3 \cdot SA $, $ SB_1 = 3 \cdot SB $, $ SC_1 = 3 \cdot SC $, $ SD_1 = 3 \cdot SD $.

Płaszczyzna $ B_1C_1D_1 $ jest równoległa do odpowiedniej płaszczyzny $ BCD $, a przy tym przechodzi przez wierzchołek $ A $, gdyż z równości $ AS = 3 \cdot SM $ wynika, że punkt $ A $ jest punktem jednokładnym do punktu $ M $ ściany $ BCD $. A zatem czworościan $ A_1B_1C_1D_1 $ jest tym czworościanem, o którym mowa w zadaniu. Ponieważ jest on jednokładny do czworościanu $ ABCD $ w stosunku $ 3 $, więc jego objętość wynosi $ 3^3 \cdot V $, czyli $ 27 V $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź