IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1},<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

Dowiedziemy najpierw, że dla każdego naturalnego $ n $ można napisać równość

\[<br />
(1 - \sqrt{2})^n = \sqrt{a^2} - \sqrt{2 b^2},<br />
\]

gdzie $ a $ i $ b $ są liczbami naturalnymi spełniającymi równość

\[<br />
a^2 - 2b^2 = (-1)^n.<br />
\]

Dowód. Dla $ n = 1 $ twierdzenie jest prawdziwe, mianowicie należy wziąć $ a = b = 1 $. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego $ n $; wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
(1 - \sqrt{2})^{n+1} & = (1 - \sqrt{2})^n \cdot (1 - \sqrt{2}) =<br />
 (\sqrt{a^2} - \sqrt{2b^2}) (1 - \sqrt{2}) = \\<br />
& = (a - b \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) =<br />
(a + 2b) - (a + b) \sqrt{2} = \\<br />
& = \sqrt{(a + 2b)^2} - \sqrt{2(a + b)^2} = \sqrt{a_1^2} - \sqrt{2b_1^2},<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ a_1 $ i $ b_1 $ są liczbami naturalnymi i

\[<br />
a_1^2 - 2b_1^2 = (a + 2b)^2 - 2 (a + b)^2 = - a^2 + 2b^2 = - (a^2 - 2b^2) = (- 1)^{n+1},<br />
\]

twierdzenie jest zatem, prawdziwe również dla wykładnika $ n + 1 $. Na podstawie indukcji zupełnej wnioskujemy stąd, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Twierdzenie wyrażone wzorem (1) jest natychmiastowym wnioskiem z dowiedzionego twierdzenia. Gdy bowiem $ n $ jest liczbą parzystą, to

\[<br />
(\sqrt{2} - 1)^n = (1 - \sqrt{2})^n = \sqrt{a^2} - \sqrt{2b^2},<br />
\]

przy czym $ a $ i $ b $, zatem również $ a^2 $ i $ 2b^2 $ są liczbami naturalnymi i $ a^2 - 2b^2 = 1 $. Gdy zaś $ n $ jest liczbą nieparzystą, to

\[<br />
(\sqrt{2} - 1)^n = - (1 - \sqrt{2})^n = \sqrt{2b^2} - \sqrt{a^2},<br />
\]

gdzie $ 2b^2 $ i $ a^2 $ są liczbami naturalnymi i

\[<br />
2b^2 - a^2 = - (a^2 - 2b^2) = - (-1) = 1.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź