IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $ O $ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $ v $. Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $ a $ od punktu $ O $ i w odległości $ b $ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

Rozwiązanie

Przyjmiemy, że $ b > 0 $; niech Czytelnik sam sformułuje odpowiedź na postawione pytanie w przypadku, gdy $ b = 0 $, tj. gdy rowerzysta znajduje się na szosie.

Niech $ M $ oznacza punkt, w którym znajduje się rowerzysta, $ S $ - punkt spotkania, $ \alpha $ - kąt $ MOS $, $ t $ - czas, jaki upłynie od chwili początkowej do chwili spotkania a $ x $ - prędkość rowerzysty. Zauważmy, że

\[<br />
\frac{x}{v} = \frac{xt}{vt} = \frac{MS}{OS},<br />
\]

a stąd według twierdzenia sinusów (rys. 48)

\[<br />
\frac{x}{v} \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \textrm { i }<br />
x = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \cdot v.<br />
\]

Z tej równości wynika, że $ x $ osiąga najmniejszą wartość, gdy $ \sin \beta $ jest największy. Jeśli $ \alpha < 90^\circ $, zachodzi to dla wartości $ \beta = 90^\circ $, zatem

\[<br />
x_{\textrm{min}} = v \sin \alpha = \frac{vb}{a}.<br />
\]

Jeśli $ a \geq 90^\circ $ (rys. 49), to kąt $ \beta $ jest ostry; największa wartość $ \sin \beta $ nie istnieje, prędkość $ x $ jest tym mniejsza, im kąt $ \beta $ jest bliższy kąta ostrego $ 180^\circ - \alpha $. Gdy kąt $ \beta $ rośnie i dąży do $ 180^\circ - \alpha $, prędkość $ x $ maleje i dąży do $ v $.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu można się obyć bez zastosowania trygonometrii rozumując jak następuje:

Jeżeli $ \alpha < 90^\circ $ (rys. 50) i $ MS \bot OM $, prowadzimy $ TH \bot OM $ i $ RK \bot OM $. Wówczas

\[<br />
\frac{MS}{OS} = \frac{HT}{OT} < \frac{MT}{OT},<br />
\]
\[<br />
\frac{MS}{OS} = \frac{KR}{OR} < \frac{MR}{OR},<br />
\]

zatem w punkcie $ S $ szosy stosunek odległości od punktów $ M $ i $ O $ jest najmniejszy.

Jeżeli $ \alpha \geq 90^\circ $ i punkt $ T $ leży dalej od punktu $ O $ niż punkt $ S $ (rys. 51), to prowadząc $ NS \parallel MT $ mamy

\[<br />
\frac{MT}{OT} = \frac{NS}{OS} < \frac{MS}{OS},<br />
\]

skąd widać, że poszukiwane minimum nie istnieje.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź