IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $ \alpha $, $ \beta $ i $ \gamma $, gdy spełniona jest równość

\[<br />
(1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma?<br />
\]

Rozwiązanie

Równość (1) możemy napisać w postaci

\[<br />
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}.<br />
\]

Stąd wynika, że

\[<br />
\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = 0,<br />
\]

a po odpowiednim zgrupowaniu wyrazów mamy

\[<br />
\sin (\alpha + \beta) \cos \gamma + \cos (\alpha + \beta) \sin \gamma = 0,<br />
\]

czyli

\[<br />
\sin (\alpha + \beta + \gamma) = 0.<br />
\]

Z ostatniej równości wnioskujemy, że

\[<br />
\alpha + \beta + \gamma = k\pi \ \textrm{($k$ -  dowolna liczba całkowita)}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź