III OM - I - Zadanie 1

Do dwóch okręgów poprowadzono wspólną styczną wewnętrzną oraz obie wspólne styczne zewnętrzne. Dowieść, że odcinek stycznej wewnętrznej zawarty między stycznymi zewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej zewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia uzyskamy stosując twierdzenie, że odcinki stycznych poprowadzonych z pewnego punktu do okręgu są równe. Np. na rys. 10, przedstawiającym rozważaną figurę, $ PK = PR $, $ PL = PS $, $ QM = QR $, $ QN = QS $.

Zważywszy, że wskutek symetrii figury zachodzi równość $ KL = MN $, możemy rozumowanie ująć krótko:

\[<br />
\begin{split}<br />
2 KL & = KL + MN = KP + PL + MQ + QN = PR + PS + RQ + SQ =\\<br />
& = (PR + RQ) + (PS + SQ) = 2 PQ,<br />
\end{split}<br />
\]

istotnie więc $ KL = PQ $.

Uwaga 1. Dowód powyższy stosuje się i w tym przypadku, gdy dane okręgi są styczne (zewnętrznie); wówczas punkty $ R $ i $ S $ pokrywają się.

Uwaga 2. W analogiczny sposób można udowodnić twierdzenie: Odcinek stycznej zewnętrznej dwóch okręgów zawarty między stycznymi wewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej wewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

Rozważmy ogólnie figurę utworzoną przez proste $ AB $, $ BC $ i $ CA $, tworzące trójkąt $ ABC $, oraz przez okrąg wpisany i okręgi dopisane tego trójkąta (rys. 11).

Niech $ AB = c $, $ BC = a $, $ CA = b $, $ AB + BC + CA = 2p $. Punkty styczności okręgów z prostą $ BC $ oznaczmy, jak na rysunku, literami $ M $, $ P $, $ Q $, $ R $, załóżmy wreszcie, że $ b \geq c $. Wówczas:

\[<br />
\begin{array}{lll}<br />
CM = p - c & MP =b - c & PQ = c \\<br />
CP = p - b & MQ = c & PR = b\\<br />
CQ = p & MR = b & QR = b + c\\<br />
CR = p - a & &<br />
\end{array}<br />
\]

Uzasadnienie tych wzorów, w którym wypadnie stosować to samo twierdzenie o odcinkach stycznej, co poprzednio, pozostawiamy jako ćwiczenie. Z zależności powyższych korzystamy często przy rozwiązywaniu zadań. Proponujemy czytelnikowi zadanie: przez punkt dany wewnątrz kąta poprowadzić taką prostą, która by od tego kąta odcięła trójkąt o danym obwodzie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź