III OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x^2 + y^2 + z^2  = 19^2\\<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\\<br />
x - y + z = 11.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Mnożąc drugie równanie danego układu:

\[<br />
(*) \qquad<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0<br />
\]

przez iloczyn $ xyz $, otrzymujemy równanie

\[<br />
(**) \qquad xy + yz + zx = 0.<br />
\]

Jeśli w układzie równań (1) zamiast równania (*) weźmiemy równanie (**), to otrzymamy układ równań

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x^2 + y^2 + z^2 = 19^2\\<br />
xy + yz + zx = 0\\<br />
x - y + z = 11.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Wykażemy, że układ równań (2) jest równoważny układowi (1). W samej rzeczy, każdy zespół liczb $ x $, $ y $, $ z $ spełniający równanie (*) spełnia też równanie (**), a więc każdy zespół liczb $ x $, $ y $, $ z $ spełniający układ (1) spełnia też układ (2). A czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Otóż rozwiązaniem równania (**) jest każdy zespół liczb $ x $, $ y $, $ z $ spełniających równanie (*), a prócz tego każdy zespół liczb, w którym dwie są równe zeru, a trzecia jest dowolna; ponieważ zespoły drugiego rodzaju nie spełniają dwóch pozostałych równań układu (2), przeto dochodzimy do wniosku, że każdy zespół liczb $ x $, $ y $, $ z $ spełniający układ równań (2) spełnia też układ równań (1). W ten sposób dowiedliśmy równoważności układów (1) i (2).

Przekształćmy układ równań (2). Mnożąc drugie równanie przez $ 2 $ i dodając stronami do pierwszego równania otrzymujemy równoważny z układem II układ

\[<br />
(3) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
(x + y + z)^2 = 19^2\\<br />
xy + yz + zx = 0\\<br />
x - y + z = 11.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Układ ten można zastąpić alternatywą

\[<br />
(3a )\qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x + y + z = 19\\<br />
xy + yz + zx = 0\\<br />
x - y + z = 11<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\textrm{lub }<br />
(3b) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x + y + z = - 19\\<br />
xy + yz + zx = 0\\<br />
x - y + z = 11.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

A. Rozważmy układ równań (3a). Odejmując od pierwszego równania trzecie, otrzymujemy $ y = 4 $; podstawiając tę wartość w drugim oraz trzecim równaniu otrzymujemy układ równań

\[<br />
(4) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
y = 4\\<br />
4 (x + z) + xz = 0\\<br />
x + z= 15.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

równoważny układowi (3a). Układ (4) można z kolei zastąpić układem

\[<br />
(5) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
y = 4\\<br />
xz = - 60\\<br />
x + z = 15.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie tego układu równań daje dwie możliwości:

\[<br />
(5a) \qquad<br />
x = \frac{15-\sqrt{465}}{2},\ y=4,\ z=\frac{15 +\sqrt{465}}{2}<br />
\]

lub

\[<br />
(5b) \qquad<br />
x = \frac{15+\sqrt{465}}{2},\ y=4,\ z=\frac{15 -\sqrt{465}}{2}<br />
\]

B. Rozważmy z kolei układ równań (3b). Postępując zupełnie podobnie jak poprzednio sprowadzamy ten układ równań do układu

\[<br />
(6) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
y = - 15\\<br />
xz = - 60\\<br />
x + z = - 4.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie tego układu równań daje dwie możliwości:

\[<br />
(6a) \qquad  x = - 10,\ y = - 15, \ z = 6<br />
\]

lub

\[<br />
(6b) \qquad x = 6,\ y = - 15,\ z = - 10.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź