III OM - I - Zadanie 3

Wykazać, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0,<br />
\]

to co najmniej dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są równe.

Rozwiązanie

Budowa składników lewej strony równania (1) przywodzi na myśl wzór na tangens różnicy dwóch kątów, co prowadzi do rozwiązania zadania z użyciem trygonometrii. Możemy napisać

\[<br />
a = \tg \alpha, b = \tg \beta, c = \tg \gamma,<br />
\]

gdzie $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są określonymi kątami zawartymi wewnątrz przedziału od $ - 90^\circ $ do $ 90^\circ $. Równanie (1) przybiera postać

\[<br />
\frac{\tg \alpha - \tg  \beta}{1 + \tg  \alpha \tg \beta} +<br />
\frac{\tg \beta - \tg \gamma}{1 + \tg \beta \tg  \gamma} +<br />
\frac{\tg \gamma - \tg \alpha}{1 + \tg \gamma \tg \alpha} = 0<br />
\]

lub

\[<br />
(5) \qquad \tg (\alpha - \beta) +\tg  (\beta - \gamma) + \tg  (\gamma - \alpha) = 0,<br />
\]

przy czym każdy z kątów $ \alpha - \beta $, $ \beta - \gamma $, $ \gamma - \alpha $ zawiera się wewnątrz przedziału od $ - 180^\circ $ do $ 180^\circ $.

Stosując we wzorze (5) do sumy pierwszych dwóch składników wzór

\[<br />
\tg  m + \tg  n = \tg  (m + n) (1 - \tg  m \tg  n)<br />
\]

otrzymujemy

\[<br />
\tg (\alpha - \gamma) [1 - \tg (\alpha - \beta) \tg (\beta - \gamma)]+ \tg (\gamma - \alpha) = 0,<br />
\]

a stąd

\[<br />
(6) \qquad \tg (\alpha - \gamma) \tg  (\alpha - \beta) \tg (\beta - \gamma) = 0.<br />
\]

Któryś z tangensów we wzorze (6) musi równać się zeru, a ponieważ, jak zauważyliśmy wyżej, odpowiedni kąt jest większy od $ - 180^\circ $ a mniejszy od $ 180^\circ $, więc kąt ten musi być też równy zeru. Co najmniej dwa z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są zatem równe, a to oznacza, że co najmniej dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są równe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź