III OM - I - Zadanie 4

a) Dane są punkty $ A $, $ B $, $ C $ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że proste $ a $, $ b $, $ c $ przechodzące odpowiednio przez punkty $ A $, $ B $, $ C $ i wzajemnie równoległe czynią zadość warunkowi zadania, to znaczy, że odstępy między sąsiednimi równoległymi są równe. Wówczas ta z prostych $ a $, $ b $, $ c $, która leży między dwiema pozostałymi, jest od nich równo odległa. Niech tą prostą będzie, np. prosta $ b $. W takim razie punkty $ A $ i $ C $ są równo odległe od prostej $ b $ i leżą po jej stronach przeciwnych; zatem prosta $ b $ przecina odcinek $ AC $ w jego środku $ M $. Z tego, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ nie leżą na prostej, wynika, że punkt $ M $ jest różny od punktu $ B $.

Stąd konstrukcja: prowadzimy prostą $ b $ przez punkt $ B $ i przez środek $ M $ odcinka $ AC $, a następnie prowadzimy przez punkty $ A $ i $ C $ proste $ a $ i $ c $ równoległe do prostej $ b $ (rys. 12). Wyznaczone w ten sposób proste równoległe $ a $, $ b $, $ c $ dają rozwiązanie zadania, gdyż punkty $ A $ i $ C $, a zatem i proste $ a $ i $ c $ są równo odległe od prostej $ b $ i leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

Rozwiązanie powyższe znaleźliśmy założywszy o szukanych prostych $ a $, $ b $, $ c $, że prosta $ b $ leży między prostymi $ a $ i $ c $; ponieważ ową prostą ,,wewnętrzną'' może być równie dobrze $ a $ lub $ c $, więc zadanie ma trzy rozwiązania.

b) Przypuśćmy, że płaszczyzny $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $, przechodzące odpowiednio przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ i wzajemnie równoległe, czynią zadość warunkowi zadania, to znaczy, że odstępy między sąsiednimi płaszczyznami są równe. Niech płaszczyzny te leżą w kolejności $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $. Chcemy przez to powiedzieć, że płaszczyzna $ \beta $ jest równo odległa od płaszczyzn $ \alpha $ i $ \gamma $, a płaszczyzna $ \gamma $ jest równo odległa od płaszczyzn $ \beta $ i $ \delta $.

W takim razie jnnkty $ A $ i $ C $ są równo odległe od płaszczyzny $ \beta $ i leżą po jej stronach przeciwnych, zatem płaszczyzna $ \beta $ przechodzi przez środek $ M $ odcinka $ AC $. Podobnie płaszczyzna $ \gamma $ przechodzi przez środek $ N $ odcinka $ BD $. Z tego, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą na płaszczyźnie, wynika, że punkt $ M $ jest różny od punktu $ B $, a punkt $ N $ jest różny od punktu $ C $.

Wysnuwamy stąd następującą konstrukcję. Łączymy punkt $ B $ ze środkiem $ M $ odcinka $ AC $, a punkt $ C $ ze środkiem $ N $ odcinka $ BD $ (rysunek 13 wyobraża rzut równoległy figury). Proste $ BM $ i $ CN $ są skośne; Gdyby bowiem leżały w jednej płaszczyźnie, to w tej samej płaszczyźnie leżałyby - wbrew założeniu - punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Wiemy ze stereometrii, że przez dwie proste skośne $ BM $ i $ CN $ można poprowadzić dwie i tylko dwie płaszczyzny wzajemnie równoległe $ \beta $ i $ \gamma $.

W tym celu prowadzimy przez punkt $ M $ prostą $ m $ równoległą do prostej $ CN $, a przez punkt $ N $ prostą $ n $ równoległą do prostej $ BM $; płaszczyzna $ \beta $ jest wówczas wyznaczona przez proste $ m $ i $ BM $, a płaszczyzna $ \gamma $ - przez proste $ n $ i $ CN $.

Wreszcie przez punkty $ A $ i $ D $ prowadzimy płaszczyzny $ \alpha $ i $ \delta $ równoległe do płaszczyzn $ \beta $ i $ \gamma $; możemy je wyznaczyć, jak wskazuje rysunek 13, prowadząc przez każdy z punktów $ A $ i $ D $ proste równoległe do prostych $ BM $ i $ CN $.

Wyznaczone w ten sposób płaszczyzny $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $ dają rozwiązanie zadania, gdyż punkty $ A $ i $ C $, a zatem i płaszczyzny $ \alpha $ i $ \gamma $ są równo odległe od płaszczyzny $ \beta $ i leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny $ \beta $ - i tak samo płaszczyzny $ \beta $ i $ \delta $ są równo odległe od płaszczyzny $ \gamma $ i leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny.

Rozwiązanie powyższe znaleźliśmy założywszy o szukanych płaszczyznach, że leżą w kolejności $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $. Dla innych kolejności szukanych płaszczyzn znajdziemy w ten sam sposób inne rozwiązania zadania. Liczba wszystkich możliwych kolejności, czyli jak się inaczej mówi, permutacyj liter $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $ wynosi $ 4! $, tj. $ 24 $. Zauważmy jednak, że dwie permutacje "odwrotne" jak np. $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $ i $ \delta $, $ \gamma $, $ \beta $, $ \alpha $ dają to samo rozwiązanie. Wobec tego zadanie ma $ \frac{24}{2} = 12 $ rozwiązań odpowiadających permutacjom:

\[<br />
\alpha \beta  \gamma \delta,\<br />
\alpha \beta  \delta \gamma,\<br />
\alpha \gamma \beta  \delta ,\<br />
\alpha \gamma \delta \beta ,\<br />
\alpha \delta \beta  \gamma,\<br />
\alpha \delta \gamma \beta<br />
\]
\[<br />
\beta  \alpha  \gamma \delta,\<br />
\beta  \alpha  \delta \gamma,\<br />
\beta  \gamma  \alpha \delta ,\<br />
\beta  \delta  \alpha \gamma ,\<br />
\gamma \alpha  \beta  \delta,\<br />
\gamma \beta   \alpha \delta  .<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź