III OM - I - Zadanie 5

Dowieść, ze wielomian

\[<br />
x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1<br />
\]

jest podzielny przez wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $.

Rozwiązanie

Pomnóżmy każdy z danych wielomianów

\[<br />
f(x) = x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1<br />
\]

oraz

\[<br />
g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1<br />
\]

przez $ x - 1 $; otrzymamy wielomiany

\[<br />
\begin{split}<br />
F(x)& = (x - 1) (x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1) = \\<br />
& = x^{45} - x^{44} + x^{34} - x^{33} + x^{23} - x^{22} + x^{12} - x^{11} + x - 1<br />
\end{split}<br />
\]

i

\[<br />
G(x) = (x- 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1.<br />
\]

Aby dowieść, że wielomian $ f(x) $ jest podzielny przez wielomian $ g (x) $, wystarczy wykazać, że wielomian $ F (x) $ jest podzielny przez wielomian $ G (x) $, tj. przez $ x^5 - 1 $.

Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
& x^{45} - x^{44} + x^{34} - x^{33} + x^{23} - x^{22} + x^{12}- x^{11} + x - 1 =\\<br />
& = (x^{45} - 1) - x^{34} (x^{10} - 1) - x^{23} (x^{10} - 1) - x^{12} (x^{10} - 1) - x(x^{10}- 1)= \\<br />
& = [(x^5)^9 - 1] - (x^{10} - 1) (x^{34} + x^{23} + x^{12} + x) = \\<br />
& = (x^5-1)(x^{40} + x^{35}] + \ldots + 1)-(x^5-1)(x^5+1)(x^{34} +<br />
 x^{23} + x^{12} + x) =\\<br />
& = (x^5 - 1) [x^{40} + x^{35} + \ldots + 1 - (x^5 + 1) (x^{34} + x^{23} +<br />
 x^{12} + x)].<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem

\[<br />
F(x) = G(x) [x^{40} + x^{35} + \ldots + 1 - (x^6 + x) (x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1)].<br />
\]

Istotnie więc wielomian $ F(x) $ jest podzielny przez wielomian $ G(x) $ czego należało dowieść.

Dzieląc obie strony ostatnie równości przez $ x - 1 $ otrzymujemy wzór

\[<br />
\begin{split}<br />
& x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 = \\<br />
& = (x^4 + x^3 + x^2 + x+1) [x^{40} +<br />
 x^{35} + \ldots  + 1 - (x^6 + x) (x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1)],<br />
\end{split}<br />
\]

tzn. ten sam wzór (6), do którego doszliśmy w sposobie I.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź