III OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $ u \geq 0 $, $ v \geq 0 $, $ w \geq 0 $, to zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw.<br />
\]

Rozwiązanie

Gdy któraś z liczb $ u $, $ v $, $ w $ równa się zeru, nierówność powyższa jest prawdziwa, gdyż prawa jej strona równa się wtedy zeru, a lewa jest nieujemna. Trzeba więc tylko dowieść, że gdy $ u > 0 $, $ v > 0 $, $ w > 0 $, to

\[<br />
u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw.<br />
\]

\spos{I} Rozłożymy wielomian $ u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw $ na czynniki. Przekształcimy w tym celu sześcian sumy liczb $ u $, $ v $, $ w $ w następujący sposób:

\[<br />
\begin{split}<br />
(u&  + v + w)^3 = (u + v)^3 + 3 (u + v)^2 w + 3 (u + v) w^2 + w^3 = \\<br />
& = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + 3u^2w + 6uvw + 3v^2w + 3uw^2 + 3vw^2 + w^3 = \\<br />
& = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + (3u^2v + 3uv^2 + 3uvw) +<br />
(3v^2w + 3vw^2 + 3uvw) + \\<br />
& + (3u^2w + 3uw^2 + 3uvw) =<br />
u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + 3uv (u + v + w) + \\<br />
& + 3vw (u + v + w) + 3wu (u + v + w) = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + \\<br />
& + 3 (u + v + w) (uv + vw + wu).<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
u^3 +& v^3 + w^3 - 3uvw =\\<br />
& = (u + v + w)^3 - 3 (u + v + w)(uv + vw + wu) = \\<br />
& = (u + v + w) [(u + v + w)^2 - 3 (uv + vw + wu)] =\\<br />
& = (u + v + w) (u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - wu) = \\<br />
& = \frac{1}{2} (u + v + w) (2u^2 + 2v^2 + 2w^2 - 2 uv - 2vw - 2wu).<br />
\end{split}<br />
\]

Ostatecznie otrzymujemy

\[<br />
u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw =<br />
\frac{1}{2} (u + v + w)[(u- v)^2 + (v-w)^2 + (w - u)^2].<br />
\]

Ponieważ $ u + v + w > 0 $, a $ (u - v)^2 + (v - w)^2 + (w - u)^2 \geq 0 $, więc

\[<br />
u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw \geq 0,<br />
\]

co było do okazania.

Komentarze

łatwiejszy sposób

[ będę oznaczał jako pierwiastek ^ jako potęgę
<= oznacza mniejsze/równe
8uvw = 8[uv[vw[wu <= (u+v)(v+w)(w+u) = 2uvw + u^2w + u^2v + w^2u +
+ w^2v + v^2w + v^2u

6uvw <= uv(u+v) + uw(u+w) vw(v+w) <= (u+v)(u^2 - uv +v^2) + (u+w)(u^2 -uw +w^2) + (v+w)(v^2 - vw + w^2) = 2(u^3 + v^3 + w^3)

skracając uzyskujemy tezę
te sposób wydaje mi się łatwiejszy

Dodaj nową odpowiedź