III OM - I - Zadanie 7

Niech $ a $, $ b $ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $ c $ - jego przeciwprostokątną, $ r $ - promień koła wpisanego, wreszcie $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $ r + r_a + r_b = r_c $

2) promienie $ r $, $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $ a $, $ b $, $ c $ są wyrażone liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie

W zadaniu tym mamy do czynienia z figurą rys. 16, która jest przypadkiem szczególnym figury rys. 11, gdyż kąt $ C $ jest prosty. Widzimy, że $ r = CM $, $ r_a = CP $, $ r_b= CR $, $ r_c = CQ $.

Oznaczając $ a + b +c = 2p $ i stosując wzory podane w uwadze II do zadania 16 otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
r   = p - c\\<br />
r_a = p-b\\<br />
r_b = p - a\\<br />
r_c = p<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Stąd od razu wynika pierwsza część twierdzenia:

\[<br />
r + r_a + r_b = 3p - (a + b + c) = 3p - 2p = p = r_c.<br />
\]

Aby dowieść części drugiej załóżmy najpierw, że $ a $, $ b $, $ c $ są liczbami całkowitymi. Dowód, że $ r $, $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ są również liczbami całkowitymi, sprowadza się - jak to widać ze wzorów (1) - do wykazania, że $ p $ jest liczbą całkowitą, tj. że $ 2p $ jest liczbą parzystą. Otóż według twierdzenia Pitagorasa

\[<br />
(2) \qquad a^2 + b^2 - c^2 = 0.<br />
\]

Wobec tego albo wszystkie trzy liczby $ a^2 $, $ b^2 $, $ c^2 $ są parzyste, albo jedna z nich jest parzysta, a dwie inne są nieparzyste. Istotnie, w każdym innym przypadku, tj. gdyby dwie z tych liczb były parzyste, a trzecia była nieparzysta, albo gdyby wszystkie trzy były nieparzyste, lewa strona równości (2) nie byłaby podzielna przez $ 2 $ i równość ta nie mogłaby zachodzić. Stąd wniosek, że albo wszystkie trzy liczby $ a $, $ b $, $ c $ są parzyste, albo jedna jest parzysta a dwie pozostałe są nieparzyste; w obu przypadkach suma liczb $ a $, $ b $, $ c $ tj. $ 2p $ jest liczbą parzystą, co było do okazania.

Odwrotnie: jeśli $ r $, $ r_a $, $ r_b $, $ r_c $ są liczbami całkowitymi, to $ a $, $ b $, $ c $ są też liczbami całkowitymi, gdyż ze wzorów (1) wynika, że

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
a = r + r_a\\<br />
b = r + r_b\\<br />
c = r + r_c.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź