III OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać równanie

\[<br />
(1) \qquad |x| + |x - 1| + |x -2| = a,<br />
\]

gdzie $ a $ oznacza daną liczbę dodatnią.

Rozwiązanie

Definicja wartości bezwzględnej $ |l| $ liczby rzeczywistej $ l $ jest następująca :

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\textrm{jeśli }l \geq 0, \textrm{ to } |l| = l,\\<br />
\textrm{jeśli }l   <  0, \textrm{ to } |l| = -l.<br />
\end{array}<br />
\]

Aby rozwiązać równanie (1), najlepiej zastąpić je równaniem nie zawierającym symbolu wartości bezwzględnej. Będziemy szukali rozwiązań równania kolejno w przedziałach $ (-\infty, 0) $, $ (0,1) $, $ (1,2) $, $ (2,\infty) $.

1. Jeśli $ x \leq 0 $, równanie (1) przybiera postać

\[<br />
- x - (x-1) - (x - 2) = a, \textrm{ czyli } -3x + 3 = a.<br />
\]

Stąd

\[<br />
x = \frac{3-a}{3}.<br />
\]

Warunek $ x \leq 0 $ jest spełniony, gdy $ a \geq 3 $.

2. Jeśli $ 0 \leq x \leq 1 $, równanie (1) przybiera postać

\[<br />
x - (x-1)-(x - 2) = a, \textrm{ czyli }   -x + 3 = a.<br />
\]

Stąd

\[<br />
x = 3 - a.<br />
\]

Warunek $ 0 \leq x \leq 1 $ jest spełniony, gdy $ 2 \leq a \leq 3 $.

3. Jeśli $ 1 \leq x \leq 2 $, równanie (1) przybiera postać

\[<br />
x + x - 1 - (x - 2 ) = a,   \textrm{ czyli }   x + 1 = a.<br />
\]

Stąd

\[<br />
x = a - 1.<br />
\]

Warunek $ 1 \leq x \leq 2 $ jest spełniony, gdy $ 2 \leq a \leq 3 $.

4. Jeśli $ x \geq 2 $, równanie (1) przybiera postać

\[<br />
x + x - 1 + x - 2 = a,  \textrm{ czyli }   3x - 3 = a.<br />
\]

Stąd

\[<br />
x = \frac{a + 3}{3}.<br />
\]

Warunek $ x \geq 2 $ jest spełniony, gdy $ a \geq 3 $.

Zestawimy otrzymane wyniki:

Gdy $ a < 2 $, równanie (1) ma $ 0 $ rozwiązań.

Gdy $ a = 2 $, równanie (1) ma $ 1 $ rozwiązanie: $ x=1 $.

Gdy $ 2 < a < 3 $, równanie (1) ma $ 2 $ rozwiązania: $ x = 3-a $, $ x = a-1 $.

Gdy $ a \geq 3 $, równanie (1) ma $ 2 $ rozwiązania: $ x = \frac{3-a}{3} $, $ x = \frac{a+3}{3} $.

Zależność $ x $ od $ a $ przedstawiona jest graficznie na rys. 20.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź