III OM - I - Zadanie 11

Wykazać, że jeżeli żaden z kątów czworokąta wypukłego $ ABCD $ nie jest prosty, to zachodzi równość

\[<br />
\frac{\tg A + \tg B + \tg C + \tg D}{\tg A \tg B \tg C \tg D} =<br />
 \ctg A + \ctg B + \ctg C + \ctg D.<br />
\]

Rozwiązanie

Wiemy, że

\[<br />
(A + B) + (C + D) = 360^\circ,<br />
\]

zatem

\[<br />
(2) \qquad \tg (A + B) + \tg (C + D) = 0.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\frac{\tg A +\tg B}{1 - \tg A \tg B} + \frac{\tg C + \tg D}{1 - \tg C \tg D} = 0.<br />
\]

Mnożąc obie strony tej równości przez $ (1 - \tg A \tg B) ( 1- \tg C \tg D) $ otrzymujemy

\[<br />
(\tg A + \tg B) (1 -\tg C \tg D) + (\tg C + \tg D) (1 - \tg A \tg B) = 0,<br />
\]

lub, po łatwym przekształceniu,

\[<br />
\tg A + \tg B + \tg C + \tg D = \tg B \tg C \tg D + \tg A \tg C \tg D + \tg A \tg B \tg D + \tg A \tg B \tg C.<br />
\]

Dzieląc obie strony tej równości przez iloczyn $ \tg A \tg B \tg C \tg D $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{\tg A +\tg B + \tg C + \tg D}{\tg A \tg B \tg C \tg D} =      \ctg A + \ctg B+\ctg C+\ctg D,<br />
\]

czyli żądaną równość (1).

Powyższy dowód zawiera jednak lukę, gdyż równość (2) wymaga założenia, że $ A + B \ne 90^\circ $ i $ A + B \ne 270^\circ $. Trzeba więc jeszcze rozpatrzyć przypadek, gdy

\[<br />
(3) \qquad A + B = 90^\circ, \textrm{ a zatem } C + D = 270^\circ.<br />
\]

(Przypadek, gdy $ A + B = 270^\circ $, a $ C + D = 90^\circ $, nie wymaga osobnego rozważania, gdyż otrzymuje się z poprzedniego przez zamianę liter).

Otóż z równości (3) i z tego, że każdy kąt czworokąta wypukłego zawiera się między $ 0^\circ $ i $ 180^\circ $, wynikają nierówności

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
0^\circ < A < 90^\circ,\\<br />
90^\circ < C < 180^\circ.<br />
\end{array}<br />
\]

Z nierówności (4) wnioskujemy, że

\[<br />
90^\circ < A + C < 270^\circ.<br />
\]

Możemy więc z równości $ A + C = 360^\circ - (B + D) $ wysnuć wniosek, że

\[<br />
(2a )\qquad  \tg (A + C) + \tg(B + D) = 0,<br />
\]

i z równości (2a) otrzymać równość (1) w taki sam sposób, jak poprzednio z równości (2).

Uwaga. W poprzednim dowodzie przy wyprowadzaniu nierówności (4) korzystaliśmy z założenia, że czworokąt1 jest wypukły. Powstaje pytanie: czy wzór (1) jest również prawdziwy dla wielokąta wklęsłego, jeśli żaden jego kąt nie jest prosty? Okazuje się, że tak jest istotnie; rozumowanie poprzednie wymaga jednak uzupełnienia.

Przypuśćmy, że czworokąt $ ABCD $ jest wklęsły. Tak samo jak w czworokącie wypukłym zachodzi równość

\[<br />
A + B + C + D = 360^\circ,<br />
\]

gdyż przekątna poprowadzona z wierzchołka kąta wklęsłęgo dzieli czworokąt na dwa trójkąty.

Jeśli czworokąt ma dwa takie kąty, że ich suma nie równa się ani $ 90^\circ $, ani $ 270^\circ $, to równość (1) uzasadnimy dokładnie tak samo, jak dla czworokąta wypukłego.

Lecz są czworokąty wklęsłe, w których każcie dwa kąty dają w sumie $ 90^\circ $ albo $ 270^\circ $. Niech $ A $ oznacza kąt wklęsły czworokąta; wymieniony przypadek zachodzi, gdy

\[<br />
B+ C = 90^\circ,\ C + D = 90^\circ,\ D + B = 90^\circ,<br />
\]

skąd wynika, że

\[<br />
B = C = D = 45^\circ,\ A = 225^\circ.<br />
\]

Do takiego czworokąta (rys. 24) nie można zastosować poprzedniego rozumowania. Ale i w tym przypadku wzór (1) jest prawdziwy, gdyż wszystkie występujące tam tangensy są wówczas równe $ 1 $ i wzór wyraża równość $ 4 = 4 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź