III OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że pole $ S $ czworokąta wpisanego w koło i mającego boki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ wyraża się wzorem

\[<br />
S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c)(p - d)},<br />
\]

gdzie $ 2p = a + b + c + d $.

Rozwiązanie

Oznaczając boki i kąty czworokąta jak na rys. 25, mamy

\[<br />
(1) \qquad S = \textrm{pole }ABD + \textrm{pole }BOD =<br />
\frac{1}{2} (ad \sin A + bc \sin C),<br />
\]

a ponieważ w czworokącie wpisanym w koło jest $ A + C = 180^\circ $, więc

\[<br />
(2) \qquad 2S = (ad + bc) \sin A.<br />
\]

Zależność między kątem $ A $ i bokami czworokąta znajdziemy obliczając długość $ BD $ z trójkąta $ ABD $ i z trójkąta $ BCD $:

\[<br />
BD^2 = a^2 + d^2 - 2ad \cos A = b^2 + c^2 - 2bc \cos C,<br />
\]

skąd

\[<br />
(3) \qquad a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2ad \cos A -2bc \cos C,<br />
\]

a ponieważ $ \cos C = - \cos A $, więc

\[<br />
(4) \qquad a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2 (ad + bc) \cos A.<br />
\]

Ze związków (2) i (4) możemy wyrugować kąt $ A $. W tym celu mnożymy obie strony wzoru (2) przez $ 2 $, podnosimy równości (2) i (4) stronami do kwadratu i dodajemy; w rezultacie otrzymujemy

\[<br />
16 S^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4 (ad + bc)^2.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
16 S^2 & = 4 (ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 =<br />
[2 (ad + bc) + \\<br />
& + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)] [2 (ad + bc) - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)] = \\<br />
& = [(a + d)^2 - (b - c)^2] [(b + c)^2 - (a-d)^2]<br />
\end{split}<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
(5) \qquad 16S^2 = (a + d - b + c) (a + d + b - c) (b + c - a +d) (b + c + a - d).<br />
\]

Wprowadzamy oznaczenie

\[<br />
a + b + c + d = 2p<br />
\]

i w znany sposób przekształcamy czynniki występujące po prawej stronie równości (5):

\[<br />
a + d - b + c = a + b + c + d - 2b = 2(p - b);<br />
\]

podobnie

\[ a + d + b - c = 2(p - c),\]
\[ b + c - a + d = 2(p - a),\]
\[ b + c + a - d = 2 (p - d).\]

Podstawiając te wyrażenia do równości (5) otrzymujemy

\[<br />
16 S^2 = 2^4 (p - a)(p - b) (p - c)(p - d),<br />
\]

skąd

\[<br />
(6) \qquad S = \sqrt{ (p - a) (p -b)(p - c) (p - d)},<br />
\]

czego należało dowieść.

Uwaga 1. Wzór (6) na pole czworokąta wpisanego w koło jest przypadkiem szczególnym wzoru dotyczącego pola dowolnego czworokąta (wypukłego lub wklęsłego).

Wzory (1) i (3) stosują się, jak łatwo sprawdzić, do każdego czworokąta,. Podnosząc te wzory obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

\[<br />
16 S^2 = 4a^2d^2 \sin^2 A + 4b^2c^2 \sin^2 C + 8 abcd \sin A \sin C,<br />
\]
\[<br />
(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4a^2d^2 \cos^2 A + 4b^2c^2 \cos^2C - 8abcd \cos A \cos C.<br />
\]

Dodając te równości stronami:

\[<br />
16 S^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4a^2d^2 + 4b^2c^2 - 8abcd \cos (A + C)<br />
\]

i podstawiając $ \cos (A + C) = 2 \cos^2 \frac{A+C}{2} - 1 $ otrzymujemy

\[<br />
16S^2 = 4 (ad + bc)^2 - (a^2 + d^2-b^2 - c^2)^2 - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}.<br />
\]

Stosując do pierwszych dwóch wyrazów prawej strony ostatniej równości to samo przekształcenie, co poprzednio, otrzymujemy

\[<br />
16S^2= 16 (p -a) (p - b) (p - c) (p - d) - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}{2},<br />
\]

skąd ostatecznie mamy wzór

\[<br />
(7) \qquad S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}}.<br />
\]

Gdy $ A+C = 180^\circ $, tj. gdy czworokąt jest wpisany w koło, wówczas $ \cos \frac{A+C}{2} = 0 $, więc drugi wyraz pod pierwiastkiem znika i wzór (7) przybiera postać (6).

Uwaga 2. Ze wzoru (7) możemy wysnuć natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia wypowiedzianego w tekście zadania nr 27:

Jeżeli pole czworokąta wyraża się wzorem (6), to na czworokącie można opisać koło.

Istotnie, ze wzorów (6) i (7) wynika, że $ \cos \frac{A+C}{2} =0 $, więc $ A + C = 180^\circ $.

Zwróćmy uwagę jeszcze na następujący ciekawy wniosek ze wzoru (7): gdy boki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są stałe, wzór (7) daje największą wartość pola $ S $ w przypadku, gdy $ A + C = 180^\circ $. A zatem:

Czworokąt wpisany w koło ma pole większe niż każdy inny czworokąt o takich samych bokach.

Można wypowiedzieć twierdzenie mocniejsze (twierdzenie $ A $ jest mocniejsze od twierdzenia $ B $, czyli $ B $ jest słabsze od $ A $, jeżeli twierdzenie $ B $ wynika z twierdzenia $ A $, ale nie odwrotnie):

Spośród wszystkich czworokątów, jakie można zbudować z danych boków $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, największe pole ma czworokąt wpisany w koło.

Mogłoby się na pozór wydawać, że oba twierdzenia wyrażają jedno i to samo. Łatwo jednak dostrzeżemy różnicę treści twierdzeń, gdy je sformułujemy w postaci następującej:

a) Jeżeli czworokąty $ A $ i $ B $ mają takie same boki i na czworokącie $ A $ można opisać kolo, a na czworokącie $ B $ nie można opisać koła, to pole czworokąta $ A $ jest większe niż fole czworokąta $ B $.

b) Wśród wszystkich czworokątów mających takie same boki istnieje czworokąt o największym polu; jest to czworokąt, na którym można opisać koło.

Udowodniliśmy powyżej twierdzenie a); aby dowieść twierdzenia b), należy jeszcze wykazać, że wśród czworokątów mających dane boki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ istnieje czworokąt wpisany w koło. Możemy to zrobić w sposób następujący:

Niech $ ABCD $ będzie czworokątem o bokach $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ (rys. 26), w którym $ A + C < 180^\circ $. Jeśli na przedłużeniu przekątnej $ BD $ obierzemy dowolnie punkt $ D_1 $ - tak jednak, aby odcinek $ x = BD_1 $ był krótszy od $ a + d $ i od $ b + c $, to możemy zbudować (jak wskazuje rysunek 26) określony czworokąt $ A_1BC_1D_1 $ o bokach $ a $, $ b $, $ c $, $ d $. Wówczas $ A_1 > A $ i $ C_1 > C $.

Gdy punkt $ D_1 $ oddala się od punktu $ D $, kąty $ A_1 $ i $ C_1 $ wzrastają, przy czym można znaleźć takie położenie punktu $ D_1 $, że $ A_1 + C_1 > 180^\circ $. Jeżeli np. $ a + d < b + c $, to wystarczy zbudować taki trójkąt $ A_1BD_1 $, w którym $ A_1 = 180^\circ -C $; wówczas $ A_1 + C_1= 180^\circ - C + C_1 > 180^\circ $.

Otóż suma $ A_1 + C_1 $ jest funkcją ciągłą zmiennej $ x = BD_1 $, co łatwo sprawdzić obliczając kąty $ A_1 $ i $ C_1 $ z trójkątów $ A_1BD_1 $ i $ BC_1D_1 $ w zależności od $ x $ i od $ a $, $ b $, $ c $, $ d $. Gdy punkt $ D_1 $ posuwa się po przedłużeniu odcinka $ BD $ poczynając od punktu $ D $, funkcja ta przechodzi od wartości mniejszych niż $ 180^\circ $ do wartości większych niż $ 180^\circ $, musi więc przejść przez wartość $ 180^\circ $, tzn. istnieje taki punkt $ D_1 $, że czworokąt $ A_1BC_1D_1 $ jest wpisany w koło, a tego właśnie należało dowieść.

Powyższe twierdzenie b) jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Cramera (matematyk szwajcarski, 1704 - 1752):

Spośród wszystkich wielokątów o danych bokach $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ (gdzie $ n \geq 3 $) największe pole ma wielokąt wpisany w koło.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź