III OM - II - Zadanie 1

Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, aby równanie

\[<br />
(1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

miało trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp arytmetyczny.

Rozwiązanie

Pierwiastki równania (1) tworzą postęp arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy można je przedstawić w postaci $ p - r $, $ p $, $ p + r $, gdzie $ r \geq 0 $.

Przypadek $ r = 0 $ oznacza, że równanie (1) ma trzy równe pierwiastki (pierwiastek potrójny); przypadek ten zachodzi, gdy lewa strona równania (1) jest sześcianem dwumianu postaci $ x - \alpha $; wówczas

\[<br />
x^3 + ax^2 + bx + c = x^3 - 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x - \alpha^3,<br />
\]

zatem

\[<br />
a = - 3\alpha,\<br />
b =   3\alpha^2,\<br />
c = - \alpha^3,<br />
\]

co daje warunki

\[<br />
(6) \qquad<br />
b = \frac{1}{3} a^2,\<br />
c = \frac{1}{27} a^3.<br />
\]

Zakładając, że $ r > 0 $, otrzymujemy szukane warunki w postaci równań

\[<br />
(7) \qquad (p - r)^3 + a (p - r)^2 + b (p - r) + c = 0,<br />
\]
\[<br />
(8) \qquad p^3 + ap^2 + bp + c = 0,<br />
\]
\[<br />
(9) \qquad (p + r)^3 + a(p + r)^2 + b (p + r) + c = 0,<br />
\]

którym mają czynić zadość liczby rzeczywiste $ p $ i $ r $.

Dodając równania (7) i (9) oraz odejmując od tej sumy równanie (8) po podwojeniu jego współczynników otrzymujemy równanie

\[<br />
(3p + a)r^2 = 0,<br />
\]

lub, uwzględniając warunek $ r > 0 $, równanie

\[<br />
(10) \qquad 3p + a = 0.<br />
\]

Odejmując równanie (8) od (9) otrzymujemy po podzieleniu przez $ 2r $ równanie

\[<br />
(11) \qquad 3p^2 + r^2 + 2ap + b = 0.<br />
\]

Układ równań (7), (8), (9) jest równoważny układowi równań (8), (10), (11), ten zaś z kolei jest równoważny układowi, który otrzymamy podstawiając do równań (8) i (11) wartość $ p = - \frac{1}{3} $ a z równania (10), tj. układowi

\[<br />
(10a) \qquad p = - \frac{1}{3} a,<br />
\]
\[<br />
(12) \qquad 2a^3 - 9ab + 27c = 0,<br />
\]
\[<br />
(13) \qquad r^2 = \frac{1}{3}a^2 - b.<br />
\]

Stąd otrzymujemy żądane warunki w postaci równości (12) oraz nierówności

\[<br />
(13a) \qquad  \frac{1}{3}a^2 - b > 0.<br />
\]

wyrażającej warunek rzeczywistości liczby $ r $.

Pierwiastki równania (1) tworzą zatem postęp arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki (12) i (13a) lub warunki (6). Ponieważ w przypadku, gdy $ b = \frac{1}{3} a^2 $, tj. $ \frac{1}{3} a^2 - b = 0 $, równanie (12) daje $ c = \frac{1}{27} a^3 $, więc poszukiwane warunki możemy ostatecznie ująć w postaci związków:

\[<br />
2a^3 - 9ab + 27c = 0,<br />
\]
\[<br />
\frac{1}{3}a^2 - b \geq 0,<br />
\]

zgodnie z wynikiem uzyskanym sposobem I.

Dodamy, że przy spełnieniu tych warunków pierwiastkami równania (1) są liczby

\[<br />
- \frac{1}{3} a - \sqrt{\frac{1}{3}a^2 - b},\<br />
- \frac{1}{3}a,\<br />
- \frac{1}{3}a + \sqrt{\frac{1}{3}a^2 - b}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź