III OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są bokami takiego czworokąta, na którym można opisać koło, i w który można wpisać kolo, to pole $ S $ czworokąta wyraża się wzorem

\[<br />
S = \sqrt{abcd}.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeżeli czworokąt o bokach $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ jest wpisany w koło, to pole $ S $ wyraża się (patrz zadanie nr 27) wzorem

\[<br />
(1) \qquad S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)},<br />
\]

w którym

\[<br />
a + b + c + d = 2p.<br />
\]

Jeśli czworokąt taki jest jednocześnie opisany na kole, to

\[<br />
(2) \qquad a + c = b + d = p.<br />
\]

Z równości (2) wynika, że w takim czworokącie

\[<br />
p - a = c,\<br />
p - b = d,\<br />
p - c = a,\<br />
p - d = b.<br />
\]

Podstawiając te wartości we wzorze (1) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad S = \sqrt{abcd},<br />
\]

co było do okazania.

Uwaga. Zapytajmy, czy zachodzi twierdzenie odwrotne, tj. czy z założenia, że pole czworokąta wyraża się wzorem (3), wynika już, że na czworokącie tym można opisać koło i że można w ten czworokąt wpisać koło. Nie trudno się przekonać, że tak nie jest. Jeśli np. czworokąt jest prostokątem o bokach $ a $, $ b $, $ c = a $, $ d = b $, przy czym $ a \ne b $, to $ S = ab = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{abcd} $, a w czworokąt ten nie można wpisać koła, choć można na nim opisać koło. Przykład ten można tak zmodyfikować, by otrzymać czworokąt, który by spełniał warunek (3), a nie był ani opisanym na kole, ani wpisanym w koło. W tym celu zamiast prostokąta weźmy czworokąt $ ABCD $ wpisany w koło, w którym $ AB = a $, $ BC = b $, $ CD = c $, $ DA = d $, przy czym $ a = b $, $ c \ne d $, a kąty $ B $ i $ D $ są proste (rys. 27).

Pole czworokąta $ ABCD $ wyraża się wzorem

\[<br />
S = \textrm{pole }ABC + \textrm{pole }ADC = \frac{ab + cd}{2}.<br />
\]

Trójkąt prostokątny równoramienny $ ABC $ ma tę samą podstawę, co trójkąt prostokątny $ ADC $, lecz większą wysokość, zatem $ \textrm{pole }ABC > \textrm{pole }ADC $, tj. $ ab> cd $; ponieważ średnia arytmetyczna liczb nierównych $ ab $ i $ cd $ jest większa od ich średniej geometrycznej $ \sqrt{ abcd} $, więc

\[<br />
S > \sqrt{abcd}.<br />
\]

Jeśli pozostawiając bez zmiany długości boków $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ powiększymy przekątną $ AC $, otrzymamy czworokąt $ AB'C'D' $ (rys. 27) o polu $ S' $ mniejszym niż $ S $. Chodzi o to, żeby tak obrać punkt $ C' $, aby zachodziła równość $ S' = \sqrt{ abcd} $. W tym celu trzeba wyznaczyć kąty rozwarte $ B' $ i $ D' $ w ten sposób, żeby spełnione były dwa warunki:

\[<br />
a^2 + b^2 - 2ab \cos B' = c^2 + d^2 - 2cd \cos D'<br />
\]
\[<br />
\frac{1}{2} ab \sin B' + \frac{1}{2} cd \sin D' = \sqrt{ abcd}.<br />
\]

Nie ma potrzeby przeprowadzania ogólnej dyskusji tych równań; dla naszego celu wystarczy podać rozwiązanie w jakimś przypadku szczególnym. Załóżmy, że czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w koło o promieniu $ 1 $ i że $ CD $ jest bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w to koło, wobec czego $ a = b = \sqrt{ 2} $, $ c = 1 $, $ d = \sqrt{ 3} $. Po podstawieniu tych wartości do powyższych równań otrzymujemy równania

\[<br />
2 \cos B' = \sqrt{3} \cos D',<br />
\]
\[<br />
2 \sin B' + \sqrt{3} \sin D' = 2\sqrt{2 \sqrt{3}}.<br />
\]

Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i wyrażając następnie cosinusy kątów przez ich sinusy otrzymujemy równanie

\[<br />
4 \sin^2 B' - 3 \sin^2 D' = 1.<br />
\]

Dzieląc to równanie przez drugie z poprzednich równań mamy

\[<br />
2 \sin B' - \sqrt{3} \sin D' = \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\sin B' =<br />
\frac{1}{4} \left[ 2\sqrt{2\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}} \right] =<br />
\frac{8\sqrt{3}+1}{8\sqrt{2 \sqrt{3}}},<br />
\]
\[<br />
\sin D\ = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ 2\sqrt{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}} \right] =<br />
\frac{8\sqrt{3}-1}{4\sqrt{6 \sqrt{3}}}.<br />
\]

Otrzymane wartości są, jak łatwo sprawdzić, mniejsze od $ 1 $, wyznaczają więc kąty rozwarte $ B' $ i $ D' $.

Tak dobrany czworokąt $ AB'C'D' $ ma pole $ S' = \sqrt{ abcd} = \sqrt{2\sqrt{3}} $, ale nie jest ani wpisany w koło (gdyż ma dwa przeciwległe kąty rozwarte), ani opisany na kole (gdyż sumy boków przeciwległych nie są równe).

Zauważymy jeszcze, że zachodzi twierdzenie częściowo odwrotne do twierdzenia z zadania nr 29:

Jeżeli pole $ S $ czworokąta o bokach $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ wyraża się wzorem $ S = \sqrt{abcd} $ i w czworokąt ten można wpisać koło, to można również opisać na nim koło.

Istotnie, pole czworokąta $ ABCD $ o bokach $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełnia, według wzoru (6) w zadaniu nr 27, warunek

\[<br />
(4) \qquad S^2 = (p- a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}.<br />
\]

Z założenia, że czworokąt jest opisany na kole wynika, jak stwierdziliśmy poprzednio (na podstawie wzorów (2), str. 94), związek

\[<br />
(5) \qquad (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) = abcd.<br />
\]

Ze wzorów (3), (4) i (5) otrzymujemy

\[<br />
S^2 = S^2 - S^2 \cos^2 \frac{A+C}{2},<br />
\]

zatem

\[<br />
\cos \frac{A + C}{2} = 0,<br />
\]

a stąd

\[<br />
A + C = 180^\circ,<br />
\]

co dowodzi, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać koło.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź