III OM - II - Zadanie 3

Czy prawdziwe są twierdzenia:

a) jeżeli cztery wierzchołki prostokąta leżą na czterech bokach rombu, to boki prostokąta są równoległe do przekątnych rombu;

b) jeżeli cztery wierzchołki kwadratu leżą na czterech bokach rombu, który nie jest kwadratem, to boki kwadratu są równoległe do przekątnych rombu.

Rozwiązanie

a) Pierwsze twierdzenie nie jest prawdziwe; aby to wykazać, wystarczy dać kontrprzykład, czyli pokazać figurę zaprzeczającą twierdzeniu.

Ze środka $ O $ rombu $ ABCD $ (rys. 28) zatoczmy okrąg o promieniu większym niż odległość środka rombu od jego boku, a mniejszym niż połowa krótszej przekątnej rombu.

Cała figura jest symetryczna względem każdej z prostych $ AC $ i $ BD $, a także względem punktu $ O $. Nakreślony okrąg przecina każdy bok rombu w dwóch punktach. Niech $ M $ będzie jednym z punktów przecięcia boku $ AB $ z okręgiem, a $ N $ niech będzie tym punktem przecięcia boku $ BC $ z okręgiem, który nie jest symetryczny do punktu $ M $ względem prostej $ BD $. Niech następnie $ P $ i $ Q $ będą punktami symetrycznymi do punktów $ M $ i $ N $ względem punktu $ O $, odcinki $ MP $ i $ NQ $ są zatem średnicami okręgu; wobec symetrii figury względem punktu $ O $ punkty $ P $ i $ Q $ są punktami przecięcia boków $ CD $ i $ DA $ z okręgiem.

Czworokąt $ MNPQ $ jest prostokątem, gdyż każdy jego kąt jest kątem wpisanym w nakreślony okrąg i opartym na jego średnicy (np. kąt $ MNP $ opiera się na średnicy $ MP $). Bok $ MN $ tego prostokąta nie jest prostopadły do prostej $ BD $, gdyż prosta $ MN $ nie przechodzi przez punkt symetryczny do punktu $ M $ względem prostej $ BD $; tym samym bok $ MN $ nie jest równoległy do przekątnej $ AC $. Bok $ MN $ nie jest też równoległy do przekątnej $ BD $, gdyż łączy punkty $ M $ i $ N $ leżące po przeciwnych stronach prostej $ BD $. Wierzchołki $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ prostokąta $ MNPQ $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ rombu, ale boki tego prostokąta nie są równoległe do przekątnych rombu. Prostokąt $ MNPQ $ stanowi zatem kontrprzykład obalający twierdzenie a).

b) Wykażemy, że drugie twierdzenie jest prawdziwe.

Niech $ MNPQ $ będzie kwadratem wpisanym w romb $ ABCD $, przy czym wierzchołki $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ kwadratu leżą odpowiednio na bokach $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ rombu.

Udowodnimy najpierw, że środek $ O $ kwadratu jest jednocześnie środkiem rombu. Obróćmy całą figurę dokoła punktu $ O $ o $ 180^\circ $. Wierzchołek $ M $ kwadratu znajdzie się po obrocie w przeciwległym wierzchołku $ P $ (rys. 29), prosta $ AB $ da po obrocie prostą przechodzącą przez punkt $ P $ równolegle do prostej $ AB $, tzn. pokryje się z prostą $ CD $. Ponieważ takie samo rozumowanie stosuje się do każdego boku rombu, więc wynika stąd, że po obrocie romb nałoży się sam na siebie, a to oznacza, że środek obrotu $ O $ jest środkiem symetrii rombu.

Obróćmy teraz całą figurę dokoła punktu $ O $ o $ 90^\circ $ tak, aby półprosta $ OA $ pokryła półprostą $ OB $ (na rys. 30 kierunek obrotu zaznaczony jest strzałką). P0 obrocie kwadrat $ MNPQ $ przejdzie w kwadrat $ NPQM $, tzn. nałoży się sam na siebie; romb $ ABCD $ przejdzie w romb $ A'B'C'D' $, nie pokrywający się z rombem $ ABCD $, gdyż według założenia romb ten nie jest kwadratem. Jeśli np. $ OA>OB $ to $ OA'>OB $, a $ OD' = OD < OA $; zatem odcinki $ D'A' $ i $ AB $ przecinają się. Punktem przecięcia tych odcinków jest wierzchołek $ M $ kwadratu, gdyż na ten punkt upadnie po obrocie punkt $ Q $ odcinka $ AD $. Analogicznie odcinki $ BC $ i $ A'B' $ przecinają się w wierzchołku $ N $ kwadratu.

Pigura złożona z obu rombów jest symetryczna względem prostej $ BD $; w tej symetrii punktowi $ M $ odpowiada punkt $ N $. Prosta $ MN $ jest więc prostopadła do osi symetrii $ BD $, czyli jest równoległa do prostej $ AC $, czego należało dowieść.

Uwaga. Gdybyśmy odrzucili założenie, że romb $ ABCD $ nie jest kwadratem, twierdzenie nie byłoby prawdziwe, w kwadrat bowiem można wpisać nieskończenie wiele kwadratów, z których tylko jeden ma boki równoległe do przekątnych kwadratu danego.

Z dowiedzionego twierdzenia b) wynika, że w romb nie będący kwadratem można wpisać tylko jeden kwadrat, w ten sposób, żeby na każdem boku rombu leżał któryś wierzchołek kwadratu. Można dowieść twierdzenia mocniejszego: istnieje tylko jeden kwadrat, którego wierzchołki leżą na obwodzie rombu $ ABCD $ nie będącego kwadratem. Wystarczy w tym celu wykazać, że nie istnieje kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na tym samym boku rombu, a pozostałe wierzchołki na innych bokach rombu. Pozostawiamy to jako ćwiczenie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź