III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca},<br />
\]

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

Rozwiązanie

Równość (1) piszemy w postaci

\[<br />
\frac{a + b + c}{abc} = \frac{1}{ab + bc + ca}.<br />
\]

Stąd wynika równość

\[<br />
(2) \qquad (a + b + c) (ab + bc - ca) - abc = 0,<br />
\]

która po wykonaniu mnożenia i po redukcji daje

\[<br />
a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 2abc = 0.<br />
\]

Lewą stronę porządkujemy według potęg $ a $:

\[<br />
(b + c) a^2 + (b^2 + 2bc + c^2) a + (b^2c + bc^2) = 0.<br />
\]

Wyłączamy $ b + c $ przed nawias:

\[<br />
(b + c) [a^2 + a (b + c) + bc] = 0<br />
\]

i ostatecznie otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad (b + c)(a + b)(a + c)=0.<br />
\]

Z tej równości wynika, że któraś z sum $ a + b $, $ b + c $, $ c + a $ jest równa zeru, tzn. że któreś dwie z liczb $ a $, $ b $, $ c $ są liczbami przeciwnymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź