III OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

Rozwiązanie

Płaszczyzna przechodząca przez środki $ M $ i $ P $ przeciwległych krawędzi $ AB $ i $ CD $ czworościanu $ ABCD $ i przez środek $ N $ krawędzi $ BC $ (rys. 32) musi przejść również przez środek $ Q $ krawędzi $ AD $, przeciwległej do krawędzi $ BC $. Istotnie, każda z prostych $ NP $ i $ MQ $ jest równoległa do prostej $ BD $ (na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta), więc $ MQ \parallel NP $; płaszczyzna $ MNP $ zawiera zatem prostą $ MQ $.

Płaszczyzna $ MNPQ $ dzieli czworościan na dwie części; obliczmy objętość części leżącej po tej samej stronie płaszczyzny $ MNPQ $, co krawędź $ BD $, czyli objętość pięciościanu ograniczonego równoległobokiem $ MNPQ $, trójkątem $ BMN $, trapezami $ BMQD $ i $ BNPD $, oraz trójkątem $ DPQ $. Poprowadźmy przez środek $ R $ krawędzi $ BD $ płaszczyznę $ PQR $. Płaszczyzna ta dzieli pięciościan na czworościan $ DPQR $ i graniastosłup trójkątny $ PQRBMN $. Czworościan $ DPQR $ ma objętość równą $ \frac{1}{8} $ objętości $ V $ czworościanu $ ABCD $, gdyż jest to czworościan podobny do danego czworościanu w skali $ \frac{1}{2} $. Objętość graniastosłupa $ PQRBMN $, który ma $ 4 $ razy mniejszą podstawę i $ 2 $ razy mniejszą wysokość niż czworościan $ ABCD $, równa się $ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3V = \frac{3}{8}V $. Zatem, objętość pięciościanu $ DBMNPQ $ równa się $ \frac{1}{8}V + \frac{3}{8}V = \frac{1}{2}V $, tzn. płaszezyzna $ MNPQ $ dzieli dany czworościan na części o równych objętościach.

Aby odpowiedzieć na końcowe pytanie postawione w tekście zadania, poprowadźmy przez środki $ M $ i $ P $ krawędzi $ AB $ i $ CD $ dowolną płaszczyznę $ \alpha $. Jeśli płaszczyzna $ \alpha $ przechodzi przez krawędź $ CD $, to rozcina czworościan na dwa czworościany $ AMCD $ i $ BMCD $, których objętości są równe, gdyż czworościany te mają podstawy $ AMC $ i $ BMC $ o równych polach oraz wspólną wysokość z wierzchołka $ D $. Jeśli płaszczyzna $ \alpha $ przecina krawędź $ CD $, to punkty $ C $ i $ D $ leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny, więc płaszczyzna $ \alpha $ przecina jedną z krawędzi $ AD $ i $ AC $. Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy płaszczyzna $ \alpha $ przecina krawędź $ AD $ w punkcie $ Q' $ leżącym wewnątrz odcinka $ QD $ (rys. 34); wykażemy, że przecina ona wtedy krawędź $ BC $ w punkcie wewnętrznym $ N' $ odcinka $ NC $.

Istotnie, prosta $ Q'P $, po której przecinają się płaszczyzny $ \alpha $ i $ ACD $, przecina przedłużenie odcinka $ AC $ w punkcie $ T $, a prosta $ MT $, która jest przecięciem płaszczyzn $ \alpha $ i $ ABC $, przecina odcinek $ NC $, gdyż odcinek $ MT $ łączy punkty $ M $ i $ T $, leżące po przeciwnych stronach prostej $ BC $, i leży w pasie pomiędzy prostymi równoległymi $ AC $ i $ MN $.

Płaszczyzna $ \alpha $ rozcina czworościan na dwie części; obliczymy objętość jednej z nich, np. pięciościanu $ DBMN'PQ' $. Ponieważ, jak wynika z powyższego, punkty $ N' $ i $ Q' $ leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny $ MNPQ $, więc

\[<br />
(1) \qquad \textrm{obj. }DBMN'PQ' = \textrm{obj. }DBMNPQ - \textrm{obj. }Q'MPQ + \textrm{obj. }N'MNP.<br />
\]

Udowodnimy, że

\[<br />
(2) \qquad \textrm{obj. }Q'MPQ = \textrm{obj. }N'MNP.<br />
\]

Ponieważ podstawy $ MPQ $ i $ MNP $ czworościanów $ Q'MPQ $ i $ N'MNP $ są trójkątami przystającymi, jako połowy równoległoboku $ MNPQ $, więc wystarczy dowieść, że wierzchołki $ N' $ i $ Q' $ są równo odległe od płaszczyzny $ MNPQ $, co się sprowadza do wykazania, ze punkt $ S $, w którym przecinają się przekątne $ N'Q' $ i $ PM $ czworokąta płaskiego $ MN'PQ' $, dzieli odcinek $ N'Q' $ na połowy.

Otóż środki wszystkich odcinków łączących punkty prostej $ AD $ z punktami prostej $ BC $ leżą w jednej płaszczyźnie równoległej do obu prostych skośnych $ AD $ i $ BC $. Płaszczyzna ta zawiera punkty $ P $ i $ M $ więc zawiera też punkt $ S $; zatem istotnie punkt $ S $ jest środkiem odcinka $ N'Q' $.

Z równości (1) i (2) wynika, że

\[<br />
\textrm{obj. }DBMN'PQ' = \textrm{obj. }DBMNPQ = \frac{1}{2} V.<br />
\]

Dowiedliśmy, że każda płaszczyzna przechodząca przez środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Uwaga. Drugą część powyższego dowodu, tj. rozumowanie dotyczące podziału czworościanu $ ABCD $ dowolną płaszczyzną $ \alpha $ przechodzącą przez punkty $ M $ i $ P $, można znacznie skrócić.

Narysujmy rzut prostokątny czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ MP $ (rys. 35).

Rzutami krawędzi $ AB $ i $ CD $ są dwa odcinki dzielące się na połowy w punkcie będącym wspólnym rzutem punktów $ M $ i $ P $, rzuty pozostałych krawędzi tworzą wobec tego równoległobok $ ADBC $, a rzut równoległoboku $ MNPQ $ pokrywa się z rzutem odcinka $ NQ $. Widzimy od razu, że dowolna płaszczyzna $ \alpha $ przechodząca przez prostą $ MP $ przecina dwie przeciwległe krawędzie czworościanu, np. $ AD $ w punkcie $ N' $ i $ BC $ w punkcie $ Q' $, przy czym rzuty punktów $ N' $ i $ Q' $ są symetryczne, względem środka równoległoboku $ ADBC $, stąd wynika równość (1) a także równość (2), gdyż wysokości czworościanów $ Q'MPQ $ i $ N'MNP $ są równe wysokościom trójkątów $ N'MN $ i $ Q'PQ $ na rys. 35.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź