III OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
xy (x - y) = ab (a - b)\\<br />
x^3 - y^3 = a^3 - b^3.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Pomnóżmy obie strony pierwszego równania przez $ 3 $, a następnie dodajmy równania stronami; otrzymamy równanie

\[<br />
(x - y)^3 = (a - b)^3,<br />
\]

równoważne (w dziedzinie liczb rzeczywistych) równaniu

\[<br />
x - y = a - b.<br />
\]

Układ równań (1) jest równoważny układowi równań

\[<br />
(2) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
xy(x - y) = ab (a - b) \\<br />
x - y = a - b<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

lub układowi prostszemu

\[<br />
(3) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
xy (a - b) = ab (a - b) \\<br />
x - y = a - b.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Należy rozróżnić dwa przypadki:

I. $ a - b \ne 0 $. Układ równań (3) jest równoważny układowi

\[<br />
(4) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
xy = ab\\<br />
x - y = a - b<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

mającemu dwa rozwiązania: $ x = a $, $ y = b $ i $ x = - b $, $ y = -a $.

II. $ a - b = 0 $. Pierwsze z równań (3) jest tożsamością $ 0 = 0 $ i układ równań (3) redukuje się do jednego równania

\[<br />
x - y = 0,<br />
\]

majajpego rozwiązanie $ x = m $, $ y = m $, gdzie $ m $ jest dowolną liczbą.

Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych równanie $ (x - y)^3 = (a - b)^3 $ jest równoważne alternatywie trzech równań: $ x - y = a - b $, lub $ x - y = (a - b)\varepsilon $ lub $ x - y = (a - b) \varepsilon^2 $, gdzie

\[<br />
\varepsilon = \frac{- 1 + i\sqrt{3}}{2},<br />
\]

wobec czego układ równań (1) jest równoważny alternatywie trzech układów równań, z których jednym jest układ (2), a dwa inne powstają z układu (2) przez zastąpienie drugiego równania równaniem $ x - y =  (a - b)\varepsilon $ lub równaniem $ x - y = (a - b)\varepsilon^2 $. Rozwiązanie każdego z tych układów przebiega analogicznie do rozwiązania układu (2). Wynik jest następujący:

I. Gdy $ a - b \ne 0 $, dany układ ma w dziedzinie liczb zespolonych $ 6 $ rozwiązań $ (x, y) $, mianowicie:

\[<br />
(a, b),\ (a\varepsilon, b\varepsilon),\ (a\varepsilon^2, b\varepsilon^2),<br />
\]
\[<br />
(-b, -a),\ (-b\varepsilon, -a\varepsilon),\ (-b\varepsilon^2, -a\varepsilon^2).<br />
\]

II. Gdy $ a = b $, rozwiązaniem danego układu równań jest każda para liczb $ x = m $, $ y = m $, gdzie $ m $ jest dowolną liczbą zespoloną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź