III OM - III - Zadanie 3

Zbudować czworokąt $ ABCD $ mając dane długości boków $ AB $ i $ CD $ oraz kąty czworokąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy długości danych boków czworokąta: $ AB = a $, $ CD = c $. Weźmy pod uwagę sumy kolejnych kątów czworokąta:

\[<br />
A + B,\   B+C, \  C + D,\   A + D<br />
\]

i z tych sum utwórzmy pary

\[<br />
(A + B, C + D) \textrm{ i } (A + D,B + C).<br />
\]

Na każdej z tych par któraś z sum nie przekracza $ 180^\circ $, gdyż suma wszystkich czterech kątów $ A + B + C + D $ wynosi $ 360^\circ $.

Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy $ A + B \leq 180^\circ $ i $ A + D \leq 180^\circ $; rozumowanie, które przeprowadzimy, można zastosować w każdym innym przypadku, zmieniając w odpowiedni sposób oznaczenia literowe.

Dogodnie będzie rozróżnić dwie możliwości:

I. $ A + B < 180^\circ $. Niech $ ABCD $ będzie czworokątem poszukiwanym. Czworokąt ten jest wypukły (rys. 37) lub wklęsły (rys. 38) zależnie od tego czy $ C < 180^\circ $, czy też $ C>180^\circ $.

Poprowadźmy przez wierzchołek $ B $ prostą równoległą do prostej $ CD $, a przez wierzchołek $ D $ prostą równoległą do prostej $ BC $; utworzy się równoległobok $ BCDM $.

W przypadku, gdy $ A + D = 180^\circ $, tj. gdy czworokąt $ ABCD $ jest trapezem (rys. 39), punkt $ M $ leży na boku $ AB $, $ MB = c $.

W tym szczególnym przypadku konstrukcja czworokąta jest łatwa.

Kreślimy odcinek $ AB = a $. Budujemy $ \measuredangle BAD = A $ i $ \measuredangle ABC = B $ po tej samej stronie prostej $ AB $. Następnie odmierzamy $ BM = c $. Przez punkt $ M $ prowadzimy prostą równoległą do prostej $ BC $ do przecięcia z półprostą $ AD $ w punkcie $ D $. Przez punkt $ D $ prowadzimy prostą $ DC $ aż do przecięcia z prostą $ BC $ w punkcie $ C $. Łatwo sprawdzić, że czworokąt $ ABCD $ spełnia warunki zadania. Rozwiązanie istnieje, jeżeli punkt $ M $ leży wewnątrz odcinka $ AB $, tzn. jeżeli $ c < a $.

W przypadku, gdy $ A + B < 180^\circ $ i $ A + D < 180^\circ $, czyli $ C + D > 180^\circ $, i $ C + B > 180^\circ $, punkt $ M $ leży wewnątrz kąta $ BAD $.

Istotnie, gdy czworokąt $ ABCD $ jest wypukły (rys. 37), półprosta $ DM $ leży wewnątrz kąta $ ADC $, gdyż $ \measuredangle MDC = 180^\circ - C < D $; zatem półprosta $ DM $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ P $ leżącym wewnątrz odcinka $ AB $. Półprosta $ BM $ leży wewnątrz kąta $ ABC $, gdyż $ \measuredangle CBM = 180^\circ - C < B $, zatem półprosta $ BM $ przecina prostą $ AD $ w punkcie $ N $ leżącym wewnątrz odcinka $ AD $. Odcinki $ DP $ i $ BN $ przecinają się w punkcie $ M $ leżącym wewnątrz kąta $ BAD $.

Jeśli zaś czworokąt $ ABCD $ jest wklęsły (rys. 38), to półprosta $ DM $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ P $ leżącym na przedłużeniu boku $ AB $ poza punkt $ B $; podobnie półprosta $ BM $ przecina prostą $ AD $ w punkcie $ N $ leżącym na przedłużeniu odcinka $ AD $ poza punkt $ D $. Odcinki $ DP $ i $ BN $ przecinają się w punkcie $ M $ leżącym wewnątrz kąta $ BAD $.

Obliczmy kąt $ ABM $. W przypadku wielokąta wypukłego

\[<br />
\measuredangle ABM= B - \measuredangle MBC = B - (180^\circ - C) = B + C - 180^\circ.<br />
\]

W przypadku wielokąta wklęsłego

\[<br />
\measuredangle ABM = B + \measuredangle    CBM = B + 180^\circ - (360^\circ - C) = B + C- 180^\circ.<br />
\]

W obu przypadkach, w trójkącie $ ABM $ znamy boki $ AB = a $ i $ BM = c $ oraz kąt między nimi zawarty; trójkąt $ ABC $ można więc zbudować, a tym samym znaleźć punkt $ M $.

Konstrukcja jest następująca: kreślimy odcinek $ AB = a $ i przy półprostych $ AB $ i $ BA $ wykreślamy odpowiednio kąty $ A $ i $ B $; następnie budujemy trójkąt $ ABM $ i przez punkt $ M $ prowadzimy równoległą do zbudowanego ramienia kąta $ B $. Jeśli ta równoległa przetnie zbudowane ramię kąta $ A $ w punkcie $ D $, to wierzchołek $ C $ czworokąta znajdujemy w przecięciu ramienia kąta $ B $ z prostą poprowadzoną przez punkt $ D $ równolegle do prostej $ BM $. Z konstrukcji jest widoczne, że czworokąt $ ABCD $ spełnia warunki zadania.

Rozwiązanie istnieje, jeśli punkt $ M $ wypadnie wewnątrz kąta $ BAD $, gdyż tylko wtedy istnieje punkt $ D $. Warunek ten łatwo ująć w formie zależności między danymi zadania. Mianowicie półprosta $ BM $ na pewno przecina się ze zbudowanym ramieniem kąta $ A $, tworząc trójkąt $ ABN $, gdyż suma kątów zbudowanych przy $ A $ i $ B $ jest mniejsza od kąta półprostego:

\[<br />
A + \measuredangle   ABM = A + (B + C- 180^\circ) = 180^\circ - D< 180^\circ.<br />
\]

Punkt $ M $ leży wewnątrz kąta $ BAD $, gdy $ BM < BN $. Otóż

\[<br />
BN = c,\<br />
BN = AB \cdot \frac{\sin NAB}{\sin ANB} = a \cdot \frac{\sin A}{\sin D},<br />
\]

warunek rozwiązalności zadania brzmi zatem

\[<br />
c < \frac{a \sin A}{\sin D},<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad a \sin A > c \sin D.<br />
\]

Zauważmy, że jeśli $ A + D = 180^\circ $, to $ \sin A = \sin D $ i nierówność (1) daje znaleziony poprzednio dla tego przypadku warunek $ a > c $. Możemy więc sformułować wynik całego rozumowania jak następuje:

Jeżeli $ A + B < 180^\circ $, zadanie ma rozwiązanie pod warunkiem, że spełniona jest nierówność (1); rozwiązanie jest tylko jedno.

II. $ A + B = 180^\circ $. W tym przypadku poszukiwany czworokąt jest trapezem o podstawach $ AD $ i $ BC $, przy czym $ AD \geq BC $ (ponieważ założyliśmy na wstępie, że $ A + D < 180^\circ $).

Jeśli $ A + D = 180^\circ $, czworokąt jest równoległobokiem, więc $ AB = CD $ (rys. 40). Zadanie można w takim przypadku rozwiązać tylko wtedy, gdy dane boki spełniają warunek $ a = c $; rozwiązań jest wówczas nieskończenie wiele.

Jeśli $ A + D < 180^\circ $, prowadzimy równoległą $ BM $ do boku $ CD $ (rys. 41). W trójkącie $ ABM $ mamy $ AB = a $, $ BM = c $, $ \measuredangle AMB = D $, $ \measuredangle BAM = A $. Dane boki i kąty muszą więc spełniać związek (twierdzenie sinusów)

\[<br />
\frac{a}{\sin D} = \frac{c}{\sin A},<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad a \sin A = c \sin D.<br />
\]

Jeśli ten warunek jest spełniony, zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, które otrzymujemy budując trójkąt $ ABM $ i przesuwając następnie odcinek $ BM $ w kierunku $ AM $.

Zauważmy, że jeśli $ A + D = 180^\circ $, to równość (2) daje znaleziony przedtem dla tego przypadku warunek $ a = c $. Możemy więc powiedzieć:

Jeżeli $ A + B = 180^\circ $, zadanie ma rozwiązania, o ile spełniona jest równość (2); rozwiązań jest wówczas nieskończenie wiele.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź