III OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli kąty $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,<br />
\]

to jeden z tych kątów równa się $ 120^\circ $.

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia uzyskamy przekształcając równość (1). Aby przekształcenie wykonać w sposób właściwy, należy się zastanowić, do czego ma ono zmierzać.

Wystarczy dowieść, że jedna z liczb $ \sin \frac{3}{2} A $, $ \sin \frac{3}{2} B $, $ \sin \frac{3}{2} C $ równa się zeru, gdyż wtedy jeden z kątów $ \frac{3}{2} A $, $ \frac{3}{2} B $, $ \frac{3}{2} C $ równa się $ 180^\circ $.

Chodzi więc o to, by z równości (1) wywnioskować równość

\[<br />
(5) \qquad \sin \frac{3}{2} A \sin \frac{3}{2} B \sin \frac{3}{2} C = 0.<br />
\]

W tym celu przekształcamy równość (3) jak następuje:

\[<br />
1 - \cos 3A - (\cos 3B + \cos 3C) = 0,<br />
\]
\[<br />
2 \sin^2 \frac{3}{2} A - 2 \cos \frac{3}{2} (B + C) \cos \frac{3}{2} (B - C) = 0,<br />
\]
\[<br />
2 \sin^2 \frac{3}{2} A + 2 \sin \frac{3}{2} A \cos \frac{3}{2} (B - C) = 0,<br />
\]
\[<br />
2 \sin \frac{3}{2} A \left[ \sin \frac{3}{2} A + \cos \frac{3}{2} (B - C) \right] = 0,<br />
\]
\[<br />
2 \sin \frac{3}{2} A \left[ - \cos \frac{3}{2}(B + C) + \cos \frac{3}{2} (B - C) \right] = 0,<br />
\]
\[<br />
4 \sin \frac{3}{2} A \sin \frac{3}{2} B \sin \frac{3}{2} C = 0,<br />
\]

skąd $ A = 120^\circ $ lub $ B = 120^\circ $ lub $ C = 120^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź