III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $ nie może być ostatnią cyfrą liczby

\[<br />
1 + 2 + 3 + \ldots + n,<br />
\]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

Jeśli ostatnią cyfrą danej liczby jest $ x $, to

\[<br />
\frac{n(n + 1)}{2} = 10k + x (k = \textrm{ liczba naturalna}),<br />
\]

więc

\[<br />
n^2 + n - (20k + 2x) = 0.<br />
\]

Ponieważ $ n $ jest liczbą całkowitą więc wyróżnik powyższego równania, tj. liczba

\[<br />
\Delta = 80k + 8x + 1,<br />
\]

jest kwadratem liczby całkowitej. Ostatnia cyfra tego wyróżnika jest to ostatnia cyfra liczby $ 8x + 1 $. Gdy $ x $ równa się $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $, wówczas $ 8x + 1 $ kończy się odpowiednio cyfrą $ 7 $, $ 3 $, $ 7 $, $ 3 $.

Otóż kwadrat liczby całkowitej kończącej się cyfrą $ c $ ma postać $ (10a + c)^2 = 100a^2 + 20ac + c^2 $, ma więc tę samą ostatnią cyfrę, co $ c^2 $. A ponieważ kwadraty liczb od $ 0 $ do $ 9 $ nie kończą się ani cyfrą $ 7 $, ani cyfrą $ 3 $, więc $ x $ nie może być żadną z cyfr $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 9 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź