III OM - III - Zadanie 6

W okrągłej wieży o wewnętrznej średnicy $ 2 $ m znajdują się schody kręcone o wysokości $ 6 $ m. Wysokość każdego stopnia schodów wynosi $ 0,15 $ m. W rzucie poziomym stopnie tworzą przylegające do siebie wycinki kołowe o kącie $ 18^\circ $. Węższe końce stopni umocowane są w okrągłym filarze o średnicy $ 0,64 $ m, którego oś pokrywa się z osią wieży. Obliczyć największą długość pręta prostoliniowego, który można przenieść tymi schodami z dołu do góry (nie brać pod uwagę grubości pręta ani grubości płyt, z których zrobione są schody).

Rozwiązanie

Na jedno okrążenie wieży przypada $ \frac{360}{18} = 20 $ schodów o łącznej wysokości $ 20 \cdot 0,15 \textrm{m} = 3 \textrm{m} $. Stopień z numerem $ 20 + k $ leży więc dokładnie nad stopniem z numerem $ k $ w odległości $ 3 m $. Rzut prostokątny klatki schodowej na rzutnię poziomą tworzy pierścień kołowy o promieniach $ 1 \textrm{m} $ i $ 0,32 \textrm{m} $ podzielony na $ 20 $ wycinków (rys. 43).

Pręt umieszczony w wieży znajduje się w przekroju klatki schodowej płaszczyzną pionową $ \alpha $, w której ten pręt leży. Niech śladem płaszczyzny $ \alpha $ na rzutni poziomej będzie prosta $ PQ $. Kształt owego przekroju płaszczyzną pionową znajdziemy wykonując kład płaszczyzny $ \alpha $ na rzutnię poziomą, tj. odmierzając na prostopadłych wystawionych w punktach cięciwy $ PQ $ odcinki równe wysokościom odpowiednich punktów przekroju, jak wskazuje rys. 43. Łamana $ L_2 $ powstaje przez przesunięcie łamanej $ L_1 $ prostopadle do prostej $ AB $ o $ 3 $ m. W takim przekroju można umieścić pręt o długości wynoszącej co najwyżej

\[<br />
AC = \sqrt{ AB^2 + BC^2}.<br />
\]

Biorąc pod uwagę płaszczyzny pionowe równoległe do płaszczyzny $ \alpha $, stwierdzamy, że największą wartość długości $ AC $ uzyskamy, gdy ślad płaszczyzny będzie styczny do wewnętrznego okręgu pierścienia, gdyż wówczas osiągniemy największe długości odcinków $ AB $ i $ BC $.

Należy więc obliczyć największą długość pręta, jaki można przenieść schodami w ten sposób, że pręt podczas ruchu pozostaje styczny do filaru.

Przekrój klatki schodowej płaszczyzną styczną do filaru wykreślamy podobnie, jak przekrój na rys. 43, z tą jednak różnicą, że prosta $ AB $ jest styczna do mniejszego okręgu (s. 44).

Długość cięciwy $ AB $ obliczamy ze wzoru $ AB^2 = 4 (OA^2 - OM^2) = 4 - (0,64)^2 $, a kąt środkowy $ AOB $ ze wzoru $ \cos \frac{AOB}{2} = \frac{OM}{OA} = 0,32 $, skąd $ \measuredangle AOB = 142^\circ 40' $. W kącie $ AOB $ mieści cię w przybliżeniu $ 7\frac{8}{9} $ wycinka odpowiadającego stopniom schodów.

Przekrój wykreślony na rys. 44 liniami ciągłymi przechodzi przez koniec $ A $ krawędzi jednego ze stopni, wobec czego w dolnej części przekroju jest $ 7 $ punktów przecięcia płaszczyzny przekroju pionowego z krawędziami stopni; są to punkty $ 1,2, \ldots, 7 $, należące do krawędzi o rzutach $ OA_1, OA_2, \ldots, OA_7 $. W górnej części przekroju mamy analogiczne punkty $ 1', 2', \ldots, 7' $. Obliczamy $ BD = 7 \cdot 0,15 \textrm{m} = 1,05 \textrm{m} $, $ BC = BD + DC = 1,05 \textrm{m} + 3 \textrm{m} = 4,05 \textrm{m} $.

W takim przekroju można umieścić pręt o długości wynoszącej co najwyżej

\[<br />
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \approx 4,47 \textrm{m}.<br />
\]

Niech płaszczyzna przekroju pionowego obraca się dokoła osi wieży. Wówczas przekrój będzie się zmieniał, przy czym wszelkie możliwe kształty przekroju wystąpią już przy obrocie od $ 0^\circ $ do $ 18^\circ $; przy dalszym obrocie powtarzają się co $ 18^\circ $ jednakowe przekroje przesunięte za każdym razem do góry o $ 0,15 \textrm{m} $.

Dla przedstawienia rysunkowego dogodnie jest przyjąć, że płaszczyzna $ ABC $ przekroju jest nieruchoma, a obraca się wieża, np. w kierunku zaznaczonym na rysunku 44 strzałką. Przy obrocie od $ 0^\circ $ do $ 18^\circ $ punkt $ A_1 $ przebiega wówczas łuk $ A_1A $, a punkt $ A_8 $ przebiega łuk $ A_8A_7 $ Rozważmy kolejne stadia tego obrotu.

1° Gdy punkt $ A_8 $ zakreśla łuk $ A_8B $, pręt umieszczony początkowo w położeniu $ AC $ może pozostawać w tym położeniu, tzn. mieć obliczoną wyżej największą długość $ 4,47 $ m. Zauważmy, że umieszczeniu pręta wzdłuż odcinka $ AC $ nie przeszkadza podczas rozważanego obrotu żadna krawędź stopni; na wykonanym dokładnie rysunku jest widoczne, że punkty $ 1,2, \ldots, 7 $ leżą stale po jednej stronie, a punkty $ 1', 2',\ldots, 7' $ po drugiej stronie prostej $ AC $. Fakt ten można by sprawdzić rachunkowo, wykazując, że kąty $ BA1, BA2, \ldots, BA7 $ pozostają mniejsze od kąta $ BAC $, a kąty $ BC1', BC2' , \ldots, BC7' $ są większe od kąta $ BCA $.

2° Gdy punkt $ A_8 $ przekroczy przy obrocie punkt $ B $ i przebiegać będzie łuk $ BA7 $, sytuacja ulegnie zmianie; płaszczyzna $ ABC $ przetnie oprócz poprzednich krawędzi stopni jeszcze te krawędzie, których rzutem jest promień $ OA_8 $. W górnej części przekroju powstanie z lewej strony ósma wnęka i pręt można będzie przesuwać w płaszczyźnie $ ABC $ stopniowo do góry od położenia $ AC $ aż do położenia $ A'C' $, tj. podnieść go o wysokość jednego stopnia, czyli o $ 0,15 $ m. Na rys. 44 odpowiedni kształt przekroju został zaznaczony kreskami.

3° Gdy punkt $ A_8 $ znajdzie się w położeniu $ A_7 $, otrzymamy przekrój tego samego kształtu, co przekrój początkowy, lecz podniesiony o $ 0,15 $ m; pręt zachowa nadal położenie $ A'C' $, w którym pozostanie aż do chwili, gdy punkt $ A_9 $ znajdzie się w punkcie $ B $, po czym znowu można będzie przesuwać pręt ku górze itd.

Z powyższego wynika, że pręt o długości $ 4,47 $ m można przenieść schodami do góry; dłuższego pręta przenieść nie można, gdyż nie zmieściłby się w niektórych przekrojach, np. w przekroju początkowym.

Gdyby natomiast chodziło tylko o umieszczenie pręta w wieży bez przenoszenia, mógłby on mieć największą długość

\[<br />
AC' = \sqrt{AB^2 + BC'^2} =\sqrt{4 - (0,64)^2 + (3 + 0,15 \cdot 8)^2} \approx 4.6 \textrm{m}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź