II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Zastosujemy przekształcenie

\[<br />
\begin{split}<br />
(a^2  +  b^2) (c^2 + d^2) &= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = \\<br />
&=(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2)  + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) =\\<br />
&= (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeśli $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są liczbami całkowitymi, to $ ac + bd $ i $ ad - bc $ są też liczbami całkowitymi; twierdzenie zostało więc udowodnione.

Zauważmy, że zachodzi twierdzenie ogólniejsze:

Iloczyn $ n $ czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Twierdzenie to udowodnimy stosując zasadę indukcji zupełnej. Przypomnimy krótko, jak można sformułować tę zasadę:

Niech $ T_n $ oznacza twierdzenie wypowiadające jakąś własność liczby naturalnej $ n $ i niech będzie przy tym wiadomo, że:

1° Twierdzenie $ T_1 $ jest prawdziwe, tzn. liczba $ 1 $ ma tę własność.

2° Jeśli dla którejś liczby $ k $ twierdzenie $ T_k $ jest prawdziwe, to prawdziwe jest również twierdzenie $ T_{k+1} $, tzn. jeśli któraś liczba naturalna $ k $ ma ową własność, to ma ją również następna liczba naturalna $ k + 1 $.

Wówczas twierdzenie $ T_n $ jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej $ n $, tzn. każda liczba naturalna ma ową własność. (Na tym wniosku polega właśnie zasada indukcji).

Przystępując do dowodu zapowiedzianego wyżej twierdzenia nadamy mu nieco dogodniejsze brzmienie:

Twierdzenie ($ T_n $). Jeśli liczby $ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n,  b_n $ są całkowite, to iloczyn

\[<br />
1 \cdot<br />
(a_1^2 + b_1^2 ) \cdot<br />
(a_2^2 + b_2^2 ) \cdot<br />
\ldots \cdot<br />
(a_n^2 + b_n^2 )<br />
\]

równa się sumie kwadratów dwóch liczb całkowitych.

(Napisaliśmy na początku jedynkę w tym celu, by powyższe wyrażenie również w przypadku $ n = 1 $ miało postać iloczynu).

Dowód polegać będzie na stwierdzeniu, że spełnione są warunki 1°-2°, występujące w zasadzie indukcji. Otóż:

1° Twierdzenie $ T_1 $ jest prawdziwe, gdyż

\[<br />
1 \cdot (a^2 + b^2) = a^2 + b^2.<br />
\]

2° Przypuśćmy, że dla pewnego $ k $ twierdzenie $ T_k $ jest prawdziwe, tzn. że

\[<br />
1 \cdot<br />
(a_1^2 + b_1^2 ) \cdot<br />
(a_2^2 + b_2^2 ) \cdot<br />
\ldots \cdot<br />
(a_k^2 + b_k^2 ) =<br />
A^2 + B^2,<br />
\]

gdzie $ A $ i $ B $ są liczbami całkowitymi. Udowodnimy, że przy tym założeniu prawdziwe jest też twierdzenie $ T_{k+1} $.

Istotnie

\[<br />
\begin{split}<br />
1 \cdot<br />
(a_1^2 + b_1^2 ) \cdot<br />
(a_2^2 +& b_2^2 ) \cdot<br />
\ldots \cdot<br />
(a_k^2 + b_k^2 ) \cdot<br />
(a_{k+1}^2 + b_{k+1}^2 ) =<br />
(A^2+B^2)(a_{k+1}^2 + b_{k+1}^2) = \\<br />
& =<br />
A^2a_{k+1}^2 + A^2b_{k+1}^2 + B^2a_{k+1}^2 + B^2 b_{k+1}^2 =\\<br />
&=(Aa_{k+1} + Bb_{k+1})^2 + (Ab_{k+1} - Ba_{k+1})^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Na podstawie zasady indukcji wnosimy z przesłanek 1° i 2°, że twierdzenie $ T_n $ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga. Można udowodnić, że zasada indukcji zupełnej jest równoważna następującemu twierdzeniu:

W każdym zbiorze liczb naturalnych (zawierającym przynajmniej jedną liczbę) istnieje liczba najmniejsza. Zastrzeżenie, że rozważany zbiór liczb naturalnych zawiera przynajmniej jedną liczbę, jest potrzebne dlatego, że w matematyce do zbiorów liczb lub innych przedmiotów (zwanych elementami zbioru) zalicza się także tzw. zbiór pusty, tj. zbiór nie zawierający żadnego elementu. Jest to bardzo dogodne w niektórych rozumowaniach.

Przeprowadzimy dowód poprzedniego twierdzenia $ T_n $ oparty na twierdzeniu powyższym.

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby naturalne, dla których twierdzenie $ T_n $ nie jest prawdziwe. W zbiorze tych liczb istnieje liczba najmniejsza $ k $. Istnieją więc takie liczby całkowite $ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_k, b_k $, że iloczyn

\[<br />
(1) \qquad 1 \cdot (a_1^2 + b_1^2) \cdot (a_2^2 + b_2^2) \cdot \ldots \cdot (a_k^2 + b_k^2)<br />
\]

nie równa się sumie kwadratów dwóch liczb całkowitych, a jednocześnie

\[<br />
1 \cdot (a_1^2 + b_1^2) \cdot (a_2^2 + b_2^2) \cdot \ldots \cdot (a_{k-1}^2 + b_{k-1}^2) = A^2 + B^2,<br />
\]

gdzie $ A $ i $ B $ są liczbami całkowitymi. Ale wtedy możemy napisać:

\[<br />
\begin{split}<br />
1 \cdot (a_1^2 & + b_1^2) \cdot (a_2^2 + b_2^2) \cdot \ldots \cdot (a_{k-1}^2 + b_{k-1}^2)(a_{k}^2 + b_{k}^2) =<br />
(A^2 + B^2)(a_{k}^2 + b_{k}^2) = \\<br />
& = A^2a_k^2 + B^2a_k^2 + A^2b_k^2 + B^2b_k^2 =<br />
(Aa_k + Bb_k)^2 + (Ab_k - Ba_k)^2<br />
\end{split}<br />
\]

Według tej równości iloczyn (1) równa się sumie kwadratów dwóch liczb całkowitych, co jest sprzeczne z wnioskiem poprzednim. Przypuszczenie, że istnieją takie wartości $ n $, dla których twierdzenie $ T_n $ jest fałszywe - doprowadziło do sprzeczności; zatem twierdzenie $ T_n $ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź